Упр.22.23 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Один из корней уравнения $$x^{12}-abx+a^2=0$$ больше $$2$$. Докажите, что $$|b|>64$$.

Рассмотрим уравнение

$$x^{12}-abx+a^2=0.$$

Пусть $$x_0$$ — его корень и $$x_0>2$$. Тогда

$$x_0^{12}-abx_0+a^2=0,$$

то есть

$$a^2-bx_0a+x_0^{12}=0.$$

Это квадратное уравнение относительно $$a$$. Так как оно имеет действительный корень, его дискриминант неотрицателен:

$$D=b^2x_0^2-4x_0^{12}=x_0^2\left(b^2-4x_0^{10}\right)\ge 0.$$

Поскольку $$x_0>2$$, то $$x_0^2>0$$, значит

$$b^2-4x_0^{10}\ge 0,$$

откуда

$$b^2\ge 4x_0^{10}.$$

Следовательно,

$$|b|\ge 2x_0^5.$$

Так как $$x_0>2$$, то

$$x_0^5>32,$$

значит

$$|b|>2\cdot 32=64.$$

Ответ

$$|b|>64.$$