Упр.22.21 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

1) (a-1) x^2-x+2 > 0; 2) ax^2-(2a-1)x+a+1 < 0?

Подробный ответ

1) Рассмотрим неравенство $$ (a-1)x^2-x+2>0. $$

Если $$a-1=0,$$ то $$a=1$$ и получаем линейное неравенство

$$-x+2>0 \;\Rightarrow\; x<2,$$

которое не выполняется при всех $$x.$$

Если $$a\ne 1,$$ то это квадратный трёхчлен. Чтобы он был положительным при всех $$x,$$ нужно, чтобы старший коэффициент был положительным, а дискриминант — отрицательным:

$$a-1>0,$$

$$D=(-1)^2-4(a-1)\cdot 2=1-8a+8=9-8a<0.$$

Тогда

$$a>1,$$

$$9-8a<0 \;\Rightarrow\; a>\frac98.$$

Следовательно, для первого неравенства:

$$a>\frac98.$$

2) Рассмотрим неравенство $$ax^2-(2a-1)x+a+1<0.$$

Если $$a=0,$$ то получаем

$$x+1<0 \;\Rightarrow\; x<-1,$$

что не выполняется при всех $$x.$$

Если $$a\ne 0,$$ то это квадратный трёхчлен. Чтобы он был отрицательным при всех $$x,$$ нужно, чтобы старший коэффициент был отрицательным, а дискриминант — отрицательным:

$$a<0,$$

$$D=(-(2a-1))^2-4a(a+1)=(2a-1)^2-4a(a+1)=4a^2-4a+1-4a^2-4a=1-8a<0.$$

Тогда

$$a<0,$$

$$1-8a<0 \;\Rightarrow\; a>\frac18.$$

Одновременно $$a<0$$ и $$a>\frac18$$ быть не может, значит таких значений параметра нет.