Упр.22.18 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) 8x^2-6xy+y^2=0; 2) 4x^2-4xy-3y^2-2x+7y-2=0.

1) $$8x^2-6xy+y^2=0$$

Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно $$x$$:

$$8x^2-6yx+y^2=0.$$

Дискриминант:

$$D=(-6y)^2-4\cdot 8\cdot y^2=36y^2-32y^2=4y^2.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{6y\pm 2y}{16}.$$

Получаем:

$$x_1=\frac{y}{4}, \qquad x_2=\frac{y}{2}.$$

Значит,

$$8\left(x-\frac{y}{4}\right)\left(x-\frac{y}{2}\right)=0,$$

откуда

$$x=\frac{y}{4} \quad \text{или} \quad x=\frac{y}{2}.$$

Следовательно,

$$y=4x \quad \text{или} \quad y=2x.$$

Множество точек — это две прямые $$y=4x$$ и $$y=2x$$.

2) $$4x^2-4xy-3y^2-2x+7y-2=0$$

Сгруппируем слагаемые:

$$4x^2-(4y+2)x-(3y^2-7y+2)=0.$$

Это квадратное уравнение относительно $$x$$. Найдём дискриминант:

$$D=(4y+2)^2+16(3y^2-7y+2).$$

$$D=16y^2+16y+4+48y^2-112y+32=64y^2-96y+36=(8y-6)^2.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{4y+2\pm (8y-6)}{8}.$$

Получаем:

$$x_1=\frac{2-y}{2}, \qquad x_2=\frac{3y-1}{2}.$$

Следовательно,

$$4\left(x-\frac{2-y}{2}\right)\left(x-\frac{3y-1}{2}\right)=0,$$

откуда

$$x=\frac{2-y}{2} \quad \text{или} \quad x=\frac{3y-1}{2}.$$

То есть

$$y=2-2x \quad \text{или} \quad y=\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}.$$

Множество точек — это две прямые $$y=2-2x$$ и $$y=\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}.$$

Ответ

1) $$y=4x$$ или $$y=2x$$.

2) $$y=2-2x$$ или $$y=\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}.$$