Упр.22.11 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при всех допустимых значениях $$a$$ значение выражения не зависит от значения переменной:
   
   1) $$\frac{25a^2-36}{10a^2-9a+2}\colon\frac{5a+6}{5a-2}+\frac{9a-8}{1-2a}$$;
   
   2) $$\left(\frac{2a}{a+3}+\frac{1}{a-1}-\frac{4}{a^2+2a-3}\right)\colon\frac{2a+1}{a+3}$$.

1) Преобразуем выражение:

$$\frac{25a^2-36}{10a^2-9a+2}:\frac{5a+6}{5a-2}+\frac{9a-8}{1-2a} = \frac{25a^2-36}{10a^2-9a+2}\cdot\frac{5a-2}{5a+6}+\frac{9a-8}{1-2a}.$$

Разложим на множители:

$$25a^2-36=(5a-6)(5a+6), \qquad 10a^2-9a+2=(5a-2)(2a-1),$$
$$1-2a=-(2a-1).$$

Тогда

$$\frac{(5a-6)(5a+6)}{(5a-2)(2a-1)}\cdot\frac{5a-2}{5a+6}+\frac{9a-8}{1-2a} = \frac{5a-6}{2a-1}+\frac{9a-8}{1-2a}.$$

Так как $$\frac{9a-8}{1-2a}=-\frac{9a-8}{2a-1},$$ получаем

$$\frac{5a-6}{2a-1}-\frac{9a-8}{2a-1} = \frac{5a-6-9a+8}{2a-1} = \frac{-4a+2}{2a-1} = \frac{-2(2a-1)}{2a-1} =-2.$$

Значение выражения не зависит от $$a$$.

2) Преобразуем выражение:

$$\left(\frac{2a}{a+3}+\frac{1}{a-1}-\frac{4}{a^2+2a-3}\right):\frac{2a+1}{a+3}.$$

Разложим знаменатель:

$$a^2+2a-3=(a+3)(a-1).$$

Тогда

$$\frac{2a}{a+3}+\frac{1}{a-1}-\frac{4}{(a+3)(a-1)} = \frac{2a(a-1)+(a+3)-4}{(a+3)(a-1)}.$$

Упростим числитель:

$$2a(a-1)+(a+3)-4=2a^2-2a+a-1=2a^2-a-1.$$

Разложим на множители:

$$2a^2-a-1=(2a+1)(a-1).$$

Следовательно,

$$\left(\frac{2a}{a+3}+\frac{1}{a-1}-\frac{4}{(a+3)(a-1)}\right):\frac{2a+1}{a+3} = \frac{(2a+1)(a-1)}{(a+3)(a-1)}\cdot\frac{a+3}{2a+1}=1.$$

Значение выражения не зависит от $$a$$.

Ответ

1) $$-2$$; 2) $$1$$.