Упр.22.10 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение:
   1) $$\frac{9a^2-4}{2a^2-5a+2}\cdot\frac{a-2}{3a+2}+\frac{a-1}{1-2a}$$;
   2) $$\frac{b-4}{b^3-b}:\left(\frac{b-1}{2b^2+3b+1}-\frac{1}{b^2-1}\right)$$;
   3) $$\left(\frac{c+2}{c^2-c-6}-\frac{2c}{c^2-6c+9}\right):\frac{c^2+3c}{(2c-6)^2}$$;
   4) $$\left(\frac{3}{m-4}+\frac{2m}{m+1}+\frac{4m-6}{m^2-3m-4}\right)\cdot\frac{4m-16}{2m-3}$$.

1. $$\frac{9a^2-4}{2a^2-5a+2}\cdot\frac{a-2}{3a+2}+\frac{a-1}{1-2a}$$

   Разложим на множители:
   $$9a^2-4=(3a-2)(3a+2), \quad 2a^2-5a+2=(2a-1)(a-2).$$

   Тогда
   $$\frac{(3a-2)(3a+2)}{(2a-1)(a-2)}\cdot\frac{a-2}{3a+2}+\frac{a-1}{1-2a} =\frac{3a-2}{2a-1}+\frac{a-1}{1-2a}.$$

   Так как $$1-2a=-(2a-1),$$ то
   $$\frac{a-1}{1-2a}=-\frac{a-1}{2a-1}.$$

   Получаем
   $$\frac{3a-2}{2a-1}-\frac{a-1}{2a-1} =\frac{3a-2-a+1}{2a-1} =\frac{2a-1}{2a-1}=1.$$

2. $$\frac{b-4}{b^3-b}:\left(\frac{b-1}{2b^2+3b+1}-\frac{1}{b^2-1}\right)$$

   Разложим знаменатели:
   $$b^3-b=b(b-1)(b+1),$$
   $$2b^2+3b+1=(2b+1)(b+1), \quad b^2-1=(b-1)(b+1).$$

   Тогда
   $$\frac{b-1}{2b^2+3b+1}-\frac{1}{b^2-1} =\frac{b-1}{(2b+1)(b+1)}-\frac{1}{(b-1)(b+1)}.$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{(b-1)^2-(2b+1)}{(2b+1)(b+1)(b-1)} =\frac{b^2-4b}{(2b+1)(b+1)(b-1)} =\frac{b(b-4)}{(2b+1)(b+1)(b-1)}.$$

   Тогда
   $$\frac{b-4}{b(b-1)(b+1)}:\frac{b(b-4)}{(2b+1)(b+1)(b-1)} =\frac{b-4}{b(b-1)(b+1)}\cdot\frac{(2b+1)(b+1)(b-1)}{b(b-4)}.$$

   Сокращаем:
   $$\frac{2b+1}{b^2}.$$

3. $$\left(\frac{c+2}{c^2-c-6}-\frac{2c}{c^2-6c+9}\right):\frac{c^2+3c}{(2c-6)^2}$$

   Разложим на множители:
   $$c^2-c-6=(c-3)(c+2), \quad c^2-6c+9=(c-3)^2,$$
   $$c^2+3c=c(c+3), \quad (2c-6)^2=4(c-3)^2.$$

   Тогда
   $$\frac{c+2}{(c-3)(c+2)}-\frac{2c}{(c-3)^2} =\frac{1}{c-3}-\frac{2c}{(c-3)^2}.$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{c-3-2c}{(c-3)^2} =-\frac{c+3}{(c-3)^2}.$$

   Деление на дробь заменим умножением на обратную:
   $$-\frac{c+3}{(c-3)^2}\cdot\frac{(2c-6)^2}{c^2+3c} =-\frac{c+3}{(c-3)^2}\cdot\frac{4(c-3)^2}{c(c+3)}.$$

   Сокращаем:
   $$-\frac{4}{c}.$$

4. $$\left(\frac{3}{m-4}+\frac{2m}{m+1}+\frac{4m-6}{m^2-3m-4}\right)\cdot\frac{4m-16}{2m-3}$$

   Разложим:
   $$m^2-3m-4=(m-4)(m+1), \quad 4m-16=4(m-4).$$

   Тогда
   $$\frac{3}{m-4}+\frac{2m}{m+1}+\frac{4m-6}{(m-4)(m+1)} =\frac{3(m+1)+2m(m-4)+4m-6}{(m-4)(m+1)}.$$

   Числитель:
   $$3(m+1)+2m(m-4)+4m-6=3m+3+2m^2-8m+4m-6=2m^2-m-3.$$

   Разложим:
   $$2m^2-m-3=(2m-3)(m+1).$$

   Тогда
   $$\frac{(2m-3)(m+1)}{(m-4)(m+1)}\cdot\frac{4(m-4)}{2m-3}=4.$$

Ответ

1) $$1$$;
2) $$\frac{2b+1}{b^2}$$;
3) $$-\frac{4}{c}$$;
4) $$4$$.