Упр.216 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение: $$\frac{x+5}{x^2-5x}-\frac{x-5}{2x^2+10x}=\frac{x+25}{2x^2-50}$$
2. Лодка прошла 6 км против течения реки и 12 км по течению, потратив на весь путь 2 ч. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки составляет 3 км/ч.

1. $$\frac{x+5}{x^2-5x}-\frac{x-5}{2x^2+10x}=\frac{x+25}{2x^2-50}$$

   Разложим знаменатели на множители:
   $$x^2-5x=x(x-5), \quad 2x^2+10x=2x(x+5), \quad 2x^2-50=2(x-5)(x+5).$$

   Тогда
   $$\frac{x+5}{x(x-5)}-\frac{x-5}{2x(x+5)}-\frac{x+25}{2(x-5)(x+5)}=0.$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{2(x+5)^2-(x-5)^2-x(x+25)}{2x(x-5)(x+5)}=0.$$

   Числитель:
   $$2(x^2+10x+25)-(x^2-10x+25)-x^2-25x=5x+25.$$

   Получаем:
   $$\frac{5x+25}{2x(x-5)(x+5)}=0.$$

   Отсюда
   $$5x+25=0,\quad x=-5.$$

   Но $$x=-5$$ не подходит, так как обращает знаменатель в нуль. Значит, корней нет.

2. Пусть собственная скорость лодки равна $$x$$ км/ч. Тогда скорость по течению равна $$x+3$$ км/ч, а против течения — $$x-3$$ км/ч.

   Составим уравнение по условию:
   $$\frac{12}{x+3}+\frac{6}{x-3}=2.$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$12(x-3)+6(x+3)-2(x^2-9)=0.$$

   $$12x-36+6x+18-2x^2+18=0$$
   $$-2x^2+18x=0$$
   $$-2x(x-9)=0.$$

   С учётом ОДЗ $$x\neq 3$$, $$x\neq -3$$ получаем:
   $$x=9.$$

3. $$\frac{9x+12}{x^3-64}-\frac{1}{x-4}=\frac{1}{x^2+4x+16}$$

   Разложим:
   $$x^3-64=(x-4)(x^2+4x+16).$$

   Тогда
   $$\frac{9x+12}{(x-4)(x^2+4x+16)}-\frac{x^2+4x+16}{(x-4)(x^2+4x+16)}-\frac{x-4}{(x-4)(x^2+4x+16)}=0.$$

   Числитель:
   $$9x+12-(x^2+4x+16)-(x-4)=-x^2+4x=-x(x-4).$$

   Получаем:
   $$\frac{-x(x-4)}{(x-4)(x^2+4x+16)}=0.$$

   С учётом ОДЗ $$x\neq 4$$ имеем:
   $$x=0.$$

Ответ

1) Корней нет; 2) $$9$$; 3) $$0$$.