Упр.213 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Найдите скорость течения реки, если собственная скорость лодки составляет 18 км/ч.
Решите уравнение:
1) (x-2)/(x+1) — 5/(1-x) = (x2+27)/(x2-1);
2) (3x+1)/(3x-1) — (3x-1)/(3x+1) = 6/(1-9×2)

1. Пусть $$x$$ км/ч — скорость течения реки. Тогда скорость лодки по течению равна $$18+x$$ км/ч, а против течения — $$18-x$$ км/ч.

   Весь путь занял $$54$$ мин $$=\frac{54}{60}=\frac{9}{10}$$ ч, поэтому составим уравнение:

   $$\frac{8}{18+x}+\frac{8}{18-x}=\frac{9}{10}.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$ \frac{8(18-x)+8(18+x)}{(18+x)(18-x)}=\frac{9}{10} $$

   $$ \frac{288}{324-x^2}=\frac{9}{10} $$

   $$ 2880=9(324-x^2) $$

   $$ 2880=2916-9x^2 $$

   $$ 9x^2=36 $$

   $$ x^2=4,\quad x=2 \text{ или } x=-2. $$

   Так как скорость течения не может быть отрицательной, получаем $$x=2$$.

2. ОДЗ: $$x\neq 1,\; x\neq -1.$$

   $$ \frac{x-2}{x+1}-\frac{5}{1-x}=\frac{x^2+27}{x^2-1} $$

   Так как $$\frac{5}{1-x}=-\frac{5}{x-1},$$ получаем:

   $$ \frac{x-2}{x+1}+\frac{5}{x-1}-\frac{x^2+27}{(x-1)(x+1)}=0 $$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$ \frac{(x-2)(x-1)+5(x+1)-(x^2+27)}{(x-1)(x+1)}=0 $$

   $$ x^2-3x+2+5x+5-x^2-27=0 $$

   $$ 2x-20=0 $$

   $$ x=10. $$

3. ОДЗ: $$x\neq \frac13,\; x\neq -\frac13.$$

   $$ \frac{3x+1}{3x-1}-\frac{3x-1}{3x+1}=\frac{6}{1-9x^2} $$

   Так как $$1-9x^2=(1-3x)(1+3x)=-(3x-1)(3x+1),$$ то

   $$ \frac{3x+1}{3x-1}-\frac{3x-1}{3x+1}+\frac{6}{(3x-1)(3x+1)}=0 $$

   $$ \frac{(3x+1)^2-(3x-1)^2+6}{(3x-1)(3x+1)}=0 $$

   $$ 9x^2+6x+1-(9x^2-6x+1)+6=0 $$

   $$ 12x+6=0 $$

   $$ x=-\frac12. $$

Ответ

1) $$2$$ км/ч; 2) $$10$$; 3) $$-\frac12$$.