Упр.213 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Моторная лодка проплыла 8 км по течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь 54 мин. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость лодки составляет 18 км/ч.
2. Решите уравнение:
   1) $$\frac{x-2}{x+1}-\frac{5}{1-x}=\frac{x^2+27}{x^2-1}$$;
   2) $$\frac{3x+1}{3x-1}-\frac{3x-1}{3x+1}=\frac{6}{1-9x^2}$$.

1. Пусть $$x$$ км/ч — скорость течения реки. Тогда скорость лодки по течению равна $$18+x$$ км/ч, а против течения — $$18-x$$ км/ч.

   Весь путь занял $$54$$ мин $$=\frac{54}{60}=\frac{9}{10}$$ ч, поэтому составим уравнение:

   $$\frac{8}{18+x}+\frac{8}{18-x}=\frac{9}{10}.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{8(18-x)+8(18+x)}{(18+x)(18-x)}=\frac{9}{10}$$

   $$\frac{288}{324-x^2}=\frac{9}{10}$$

   $$2880=9(324-x^2)$$

   $$2880=2916-9x^2$$

   $$9x^2=36$$

   $$x^2=4,\quad x=2 \text{ или } x=-2.$$

   Так как скорость течения не может быть отрицательной, получаем $$x=2$$.

2. ОДЗ: $$x\neq 1,\; x\neq -1.$$

   $$\frac{x-2}{x+1}-\frac{5}{1-x}=\frac{x^2+27}{x^2-1}$$

   Так как $$\frac{5}{1-x}=-\frac{5}{x-1},$$ получаем:

   $$\frac{x-2}{x+1}+\frac{5}{x-1}-\frac{x^2+27}{(x-1)(x+1)}=0$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{(x-2)(x-1)+5(x+1)-(x^2+27)}{(x-1)(x+1)}=0$$

   $$x^2-3x+2+5x+5-x^2-27=0$$

   $$2x-20=0$$

   $$x=10.$$

3. ОДЗ: $$x\neq \frac13,\; x\neq -\frac13.$$

   $$\frac{3x+1}{3x-1}-\frac{3x-1}{3x+1}=\frac{6}{1-9x^2}$$

   Так как $$1-9x^2=(1-3x)(1+3x)=-(3x-1)(3x+1),$$ то

   $$\frac{3x+1}{3x-1}-\frac{3x-1}{3x+1}+\frac{6}{(3x-1)(3x+1)}=0$$

   $$\frac{(3x+1)^2-(3x-1)^2+6}{(3x-1)(3x+1)}=0$$

   $$9x^2+6x+1-(9x^2-6x+1)+6=0$$

   $$12x+6=0$$

   $$x=-\frac12.$$

Ответ

1) $$2$$ км/ч; 2) $$10$$; 3) $$-\frac12$$.