Упр.21.7 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны: 1) $$-7$$ и $$-8$$; 2) $$5$$ и $$-0{,}4$$; 3) $$\frac{1}{2}$$ и $$\frac{2}{3}$$; 4) $$5-\sqrt{10}$$ и $$5+\sqrt{10}$$.

1. Если $$x_1=-7$$, $$x_2=-8$$, то по теореме, обратной теореме Виета, искомое уравнение имеет вид

   $$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0.$$

   Находим сумму и произведение корней:

   $$x_1+x_2=-7+(-8)=-15,$$

   $$x_1x_2=(-7)\cdot(-8)=56.$$

   Тогда

   $$x^2+15x+56=0.$$

2. Если $$x_1=5$$, $$x_2=-0{,}4$$, то

   $$x_1+x_2=5+(-0{,}4)=4{,}6,$$

   $$x_1x_2=5\cdot(-0{,}4)=-2.$$

   Следовательно,

   $$x^2-4{,}6x-2=0.$$

   Умножим обе части на $$5$$, чтобы получить целые коэффициенты:

   $$5x^2-23x-10=0.$$

3. Если $$x_1=\frac12$$, $$x_2=\frac23$$, то

   $$x_1+x_2=\frac12+\frac23=\frac{3}{6}+\frac{4}{6}=\frac76,$$

   $$x_1x_2=\frac12\cdot\frac23=\frac13.$$

   Тогда

   $$x^2-\frac76x+\frac13=0.$$

   Умножим обе части на $$6$$:

   $$6x^2-7x+2=0.$$

4. Если $$x_1=5-\sqrt{10}$$, $$x_2=5+\sqrt{10}$$, то

   $$x_1+x_2=(5-\sqrt{10})+(5+\sqrt{10})=10,$$

   $$x_1x_2=(5-\sqrt{10})(5+\sqrt{10})=25-10=15.$$

   Следовательно,

   $$x^2-10x+15=0.$$

Ответ

1) $$x^2+15x+56=0$$; 2) $$5x^2-23x-10=0$$; 3) $$6x^2-7x+2=0$$; 4) $$x^2-10x+15=0$$.