Упр.21.6 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны:

1. $$-\frac{1}{3}$$ и $$2$$;
2. $$2-\sqrt{3}$$ и $$2+\sqrt{3}$$;
3. $$0$$ и $$6$$;
4. $$-\sqrt{7}$$ и $$\sqrt{7}$$.

1. Если $$x_1=-\frac{1}{3}$$, $$x_2=2$$, то по теореме, обратной теореме Виета, искомое уравнение имеет вид

   $$x^2-\left(-\frac{1}{3}+2\right)x+\left(-\frac{1}{3}\cdot 2\right)=0.$$

   $$x^2-\frac{5}{3}x-\frac{2}{3}=0.$$

   Умножим обе части на $$3$$:

   $$3x^2-5x-2=0.$$

2. Если $$x_1=2-\sqrt{3}$$, $$x_2=2+\sqrt{3}$$, то

   $$x_1+x_2=(2-\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})=4,$$

   $$x_1x_2=(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=4-3=1.$$

   Тогда

   $$x^2-4x+1=0.$$

3. Если $$x_1=0$$, $$x_2=6$$, то

   $$x_1+x_2=0+6=6,$$

   $$x_1x_2=0\cdot 6=0.$$

   Следовательно,

   $$x^2-6x=0.$$

4. Если $$x_1=-\sqrt{7}$$, $$x_2=\sqrt{7}$$, то

   $$x_1+x_2=-\sqrt{7}+\sqrt{7}=0,$$

   $$x_1x_2=-\sqrt{7}\cdot \sqrt{7}=-7.$$

   Тогда

   $$x^2-7=0.$$

Ответ

1) $$3x^2-5x-2=0$$; 2) $$x^2-4x+1=0$$; 3) $$x^2-6x=0$$; 4) $$x^2-7=0$$.