Упр.21.42 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 21.42. При каких значениях параметра a сумма квадратов корней уравнения x^2 +ax+a^2-2=0 является наибольшей?

Пусть корни уравнения $$x^2+ax+a^2-2=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$. По теореме Виета:

$$x_1+x_2=-a, \qquad x_1x_2=a^2-2.$$

Тогда сумма квадратов корней равна

$$ x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2. $$

Подставим значения:

$$ x_1^2+x_2^2=(-a)^2-2(a^2-2)=a^2-2a^2+4=4-a^2. $$

Так как $$a^2\ge 0$$ при любом $$a$$, то $$4-a^2$$ наибольшее при $$a=0$$.

Проверим: при $$a=0$$ уравнение принимает вид

$$x^2-2=0,$$

откуда

$$x=\pm\sqrt{2}.$$

Корни существуют, значит найденное значение параметра подходит.

Ответ

$$a=0$$.