Упр.21.41 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 21.41. При каких значениях параметра a сумма квадратов корней уравнения x^2 +2ax-3=0 является наименьшей?

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $$x^2+2ax-3=0.$$ Тогда по теореме Виета

$$x_1+x_2=-2a,\qquad x_1x_2=-3.$$

Найдём сумму квадратов корней:

$$ x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2. $$

Подставим значения:

$$ x_1^2+x_2^2=(-2a)^2-2\cdot(-3)=4a^2+6. $$

Так как $$4a^2\ge 0$$ при любом $$a$$, то выражение $$4a^2+6$$ принимает наименьшее значение при $$a=0$$.

При $$a=0$$ уравнение имеет вид $$x^2-3=0,$$ откуда $$x=\pm\sqrt{3}.$$

Ответ

$$a=0.$$