Упр.21.40 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 21.40. При каких значениях параметра a сумма квадратов корней уравнения x^2 +(a-1)x-2a=0 равна 9?

Пусть корни уравнения $$x^2+(a-1)x-2a=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда по теореме Виета

$$x_1+x_2=-(a-1), \qquad x_1x_2=-2a.$$

По условию сумма квадратов корней равна $$9$$:

$$x_1^2+x_2^2=9.$$

Используем формулу

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2.$$

Тогда

$$(-(a-1))^2-2\cdot(-2a)=9,$$

$$ (a-1)^2+4a=9,$$

$$a^2-2a+1+4a=9,$$

$$a^2+2a-8=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$a^2+2a-8=0,$$

$$a_1=-4,\qquad a_2=2.$$

Проверим оба значения.

1) При $$a=-4$$ получаем уравнение

$$x^2-5x+8=0,$$

$$D=25-32=-7<0,$$

действительных корней нет.

2) При $$a=2$$ получаем уравнение

$$x^2+x-4=0,$$

у него есть два действительных корня.

Значит, подходит только значение $$a=2$$.

Ответ

$$a=2$$