Упр.21.38 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 21.38. При каких значениях параметра a модуль разности корней уравнения x^2 -ax+2a=0 равен 3?

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $$x^2-ax+2a=0.$$ Тогда по теореме Виета

$$x_1+x_2=a,\qquad x_1x_2=2a.$$

По условию

$$|x_1-x_2|=3.$$

Возведём в квадрат:

$$ (x_1-x_2)^2=9 $$

$$ x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=9 $$

$$ (x_1+x_2)^2-4x_1x_2=9. $$

Подставим значения суммы и произведения корней:

$$ a^2-4\cdot 2a=9 $$

$$ a^2-8a-9=0. $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot(-9)=64+36=100, $$

$$ a=\frac{8\pm 10}{2}. $$

Получаем:

$$a_1=9,\qquad a_2=-1.$$

Проверка показывает, что при обоих значениях параметра уравнение имеет два корня, и их разность по модулю равна $3$.

Ответ

$$a=-1,\; 9.$$