Упр.21.37 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 21.37. При каких значениях параметра a корни уравнения x^2 -5x+a=0 на 1 меньше корней уравнения x^2 -7x+3a-6=0?

Пусть корни уравнения $$x^2-5x+a=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$, а корни уравнения $$x^2-7x+3a-6=0$$ равны $$x_1’$$ и $$x_2’$$.

По условию задачи:

$$x_1=x_1′-1,\quad x_2=x_2′-1.$$

По теореме Виета имеем:

$$x_1+x_2=5,\quad x_1x_2=a,$$

$$x_1’+x_2’=7,\quad x_1’x_2’=3a-6.$$

Найдём сумму корней первого уравнения через корни второго:

$$x_1+x_2=(x_1′-1)+(x_2′-1)=x_1’+x_2′-2=7-2=5,$$

что выполняется.

Теперь используем произведение корней первого уравнения:

$$a=x_1x_2=(x_1′-1)(x_2′-1)=x_1’x_2′-(x_1’+x_2′)+1.$$

Подставим значения:

$$a=(3a-6)-7+1=3a-12.$$

Решим уравнение:

$$a=3a-12$$

$$2a=12$$

$$a=6.$$

Ответ

$$a=6$$