Упр.21.36 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 21.36. При каких значениях параметра a разность корней уравнения 2x^2-(a+1)x+a-1=0 равна их произведению?

Пусть корни уравнения $$2x^2-(a+1)x+a-1=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда по теореме Виета

$$x_1+x_2=\frac{a+1}{2}, \qquad x_1x_2=\frac{a-1}{2}.$$

По условию разность корней равна их произведению:

$$x_1-x_2=x_1x_2.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1x_2\right)^2.$$

Раскроем скобки:

$$\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=\left(x_1x_2\right)^2.$$

Подставим выражения из формул Виета:

$$\left(\frac{a+1}{2}\right)^2-4\cdot\frac{a-1}{2}=\left(\frac{a-1}{2}\right)^2.$$

Умножим на $$4$$:

$$\left(a+1\right)^2-8(a-1)=\left(a-1\right)^2.$$

Раскроем скобки:

$$a^2+2a+1-8a+8=a^2-2a+1.$$

$$-6a+9=-2a+1.$$

$$-4a=-8.$$

$$a=2.$$

Проверим: при $$a=2$$ получаем уравнение

$$2x^2-3x+1=0,$$

у которого два корня, значит найденное значение подходит.

Ответ

$$a=2$$.