Упр.21.34 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 21.34. При каких значениях параметра a сумма корней уравнения x^2+(a^2+2a-3)x+a=0 равна нулю?

Подробный ответ

Для квадратного уравнения

$$x^2+(a^2+2a-3)x+a=0$$

сумма корней равна

$$x_1+x_2=-(a^2+2a-3).$$

По условию эта сумма должна быть равна нулю, значит

$$-(a^2+2a-3)=0,$$

откуда

$$a^2+2a-3=0.$$

Решим уравнение:

$$a^2+2a-3=(a+3)(a-1)=0.$$

Тогда

$$a=-3 \quad \text{или} \quad a=1.$$

Проверим, при каких значениях параметра уравнение действительно имеет корни. Если сумма корней равна нулю, то корни имеют вид $$x_1=t,\; x_2=-t,$$ а их произведение равно

$$x_1x_2=-t^2\le 0.$$

Но по теореме Виета

$$x_1x_2=a.$$

Значит, должно быть $$a\le 0.$$

Из найденных значений этому условию удовлетворяет только $$a=-3.$$