Упр.21.32 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Найдите все значения параметра $$b$$, при которых уравнение имеет целые корни:

1. $$x^2+bx+8=0$$;
2. $$x^2+bx-18=0$$.

1) Рассмотрим уравнение $$x^2+bx+8=0.$$

По теореме Виета:

$$x_1+x_2=-b,\qquad x_1x_2=8.$$

Так как корни целые, то они являются делителями числа $$8.$$ Возможные пары целых корней:

$$1 \text{ и } 8,\quad -1 \text{ и } -8,\quad 2 \text{ и } 4,\quad -2 \text{ и } -4.$$

Тогда:

$$1+8=-b \Rightarrow b=-9,\\ -1+(-8)=-b \Rightarrow b=9,\\ 2+4=-b \Rightarrow b=-6,\\ -2+(-4)=-b \Rightarrow b=6.$$

Следовательно, $$b\in\{-9,-6,6,9\}.$$

2) Рассмотрим уравнение $$x^2+bx-18=0.$$

По теореме Виета:

$$x_1+x_2=-b,\qquad x_1x_2=-18.$$

Целые корни должны быть делителями числа $$-18.$$ Возможные пары целых корней:

$$1 \text{ и } -18,\quad -1 \text{ и } 18,\quad 2 \text{ и } -9,\quad -2 \text{ и } 9,\quad 3 \text{ и } -6,\quad -3 \text{ и } 6.$$

Тогда:

$$1+(-18)=-b \Rightarrow b=17,\\ -1+18=-b \Rightarrow b=-17,\\ 2+(-9)=-b \Rightarrow b=7,\\ -2+9=-b \Rightarrow b=-7,\\ 3+(-6)=-b \Rightarrow b=3,\\ -3+6=-b \Rightarrow b=-3.$$

Следовательно, $$b\in\{-17,-7,-3,3,7,17\}.$$

Ответ

1) $$b\in\{-9,-6,6,9\}.$$

2) $$b\in\{-17,-7,-3,3,7,17\}.$$