Упр.21.30 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

1) уравнение 7x^2 +4x-a^2 -1=0 имеет корни разных знаков при любом значении параметра a;
2) если уравнение x^2 +6x+a^2 +4=0 имеет корни, то независимо от значения параметра a они оба отрицательны?

Подробный ответ

1) Рассмотрим уравнение $$7x^2+4x-a^2-1=0.$$

По теореме Виета:

$$x_1+x_2=-\frac{4}{7}, \qquad x_1x_2=\frac{-a^2-1}{7}=-\frac{a^2+1}{7}.$$

Так как $$a^2+1>0$$ при любом $$a,$$ то

$$x_1x_2<0.$$

Следовательно, корни уравнения имеют разные знаки при любом значении параметра $$a$$.

2) Рассмотрим уравнение $$x^2+6x+a^2+4=0.$$

По теореме Виета:

$$x_1+x_2=-6, \qquad x_1x_2=a^2+4.$$

Так как $$a^2+4>0$$ при любом $$a,$$ то произведение корней положительно, значит, корни либо оба положительные, либо оба отрицательные.

Но их сумма равна $$-6, $$то есть отрицательна. Следовательно, оба корня отрицательные.