Упр.21.29 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 21.29. При каких значениях параметра a корни x_1 и x_2, уравнения x^2 -ax+8=0 удовлетворяют условию x_1/x_2+x-2/x_1=5/2. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 merzlyak_polyakov8 21-29 827

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2-ax+8=0$$. По условию

$$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac52.$$

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}.$$

Так как

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2,$$

то

$$\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac52.$$

По теореме Виета для уравнения $$x^2-ax+8=0$$ имеем:

$$x_1+x_2=a,\qquad x_1x_2=8.$$

Подставим:

$$\frac{a^2-2\cdot 8}{8}=\frac52,$$

$$\frac{a^2-16}{8}=\frac52,$$

$$2(a^2-16)=40,$$

$$a^2-16=20,$$

$$a^2=36,$$

$$a=\pm 6.$$

Проверим условие существования корней:

$$D=a^2-4\cdot 8=a^2-32.$$

При $$a=\pm 6$$ получаем

$$D=36-32=4>0,$$

значит, оба значения подходят.

Ответ

$$a=\pm 6.$$