Упр.21.23 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Известно, что $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2+5x-16=0$$. Не решая уравнение, найдите значение выражения:
   1) $$x_1^2x_2+x_2^2x_1$$;
   2) $$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$$;
   3) $$\lvert x_2-x_1\rvert$$.

По теореме Виета для уравнения $$x^2+5x-16=0$$ имеем:

$$x_1+x_2=-5,\qquad x_1x_2=-16.$$

1. $$x_1^2x_2+x_2^2x_1=x_1x_2(x_1+x_2).$$

   Тогда

   $$x_1^2x_2+x_2^2x_1=(-16)\cdot(-5)=80.$$

2. $$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_2^2+x_1^2}{x_1x_2}.$$

   Найдём числитель:

   $$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2.$$

   Тогда

   $$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2} =\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2} =\frac{(-5)^2-2\cdot(-16)}{-16} =\frac{25+32}{-16} =-\frac{57}{16}.$$

3. $$|x_2-x_1|=\sqrt{(x_2-x_1)^2}.$$

   Вычислим квадрат разности:

   $$(x_2-x_1)^2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2 =(x_1+x_2)^2-4x_1x_2.$$

   Тогда

   $$|x_2-x_1| =\sqrt{(-5)^2-4\cdot(-16)} =\sqrt{25+64} =\sqrt{89}.$$

Ответ

1) $$80$$; 2) $$-\frac{57}{16}$$; 3) $$\sqrt{89}$$.