Упр.21.23 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) x_1^2 x_2+x_2^2 x_1; 2) x_2/x_1 +x_1/x_2 ; 3) |x_2-x_1 |.

По теореме Виета для уравнения $$x^2+5x-16=0$$ имеем:

$$x_1+x_2=-5,\qquad x_1x_2=-16.$$

1. $$x_1^2x_2+x_2^2x_1=x_1x_2(x_1+x_2).$$

   Тогда

   $$x_1^2x_2+x_2^2x_1=(-16)\cdot(-5)=80.$$

2. $$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_2^2+x_1^2}{x_1x_2}.$$

   Найдём числитель:

   $$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2.$$

   Тогда

   $$ \frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2} =\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2} =\frac{(-5)^2-2\cdot(-16)}{-16} =\frac{25+32}{-16} =-\frac{57}{16}. $$

3. $$|x_2-x_1|=\sqrt{(x_2-x_1)^2}.$$

   Вычислим квадрат разности:

   $$ (x_2-x_1)^2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2 =(x_1+x_2)^2-4x_1x_2. $$

   Тогда

   $$ |x_2-x_1| =\sqrt{(-5)^2-4\cdot(-16)} =\sqrt{25+64} =\sqrt{89}. $$

Ответ

1) $$80$$; 2) $$-\frac{57}{16}$$; 3) $$\sqrt{89}$$.