Упр.21.22 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) 1/x_1 +1/x_2 ; 2) x_1^2+x_2^2;
3) (x_1-x_2 )^2; 4) x_1 x_2^3+x_2 x_1^3;
5) x_1^3+x_2^3.

Для уравнения $$x^2-9x+6=0$$ по теореме Виета имеем:

$$x_1+x_2=9,\qquad x_1x_2=6.$$

1. $$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}.$$

2. $$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=9^2-2\cdot 6=81-12=69.$$

3. $$\begin{aligned} (x_1-x_2)^2&=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2 \\ &=9^2-4\cdot 6 \\ &=81-24=57. \end{aligned}$$

4. $$\begin{aligned} x_1x_2^3+x_2x_1^3&=x_1x_2(x_1^2+x_2^2) \\ &=x_1x_2\bigl((x_1+x_2)^2-2x_1x_2\bigr) \\ &=6(9^2-2\cdot 6)=6(81-12)=6\cdot 69=414. \end{aligned}$$

5. $$\begin{aligned} x_1^3+x_2^3&=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2) \\ &=(x_1+x_2)\bigl((x_1+x_2)^2-3x_1x_2\bigr) \\ &=9(9^2-3\cdot 6)=9(81-18)=9\cdot 63=567. \end{aligned}$$

Ответ

1) $$\frac{3}{2}$$; 2) $$69$$; 3) $$57$$; 4) $$414$$; 5) $$567$$.