Упр.208 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2025 года. Какое число нужно вычесть из числителя и знаменателя дроби $$\frac{15}{19}$$, чтобы получить дробь, равную $$\frac{2}{3}$$?
2. Задание учебника 2019 года. Решите уравнение:
   
   1) $$\frac{x^2-1}{x^2-2x+1}=0$$;
   
   2) $$\frac{x^2-2x+1}{x^2-1}=0$$.

1) Пусть число, которое нужно вычесть из числителя и знаменателя, равно $$x$$. Тогда

$$\frac{15-x}{19-x}=\frac23.$$

Перемножим крест-накрест:

$$3(15-x)=2(19-x),$$

$$45-3x=38-2x,$$

$$7=x.$$

Проверка: $$19-7\neq 0$$, значит, значение подходит.

Следовательно, нужно вычесть число $$7$$.

2) $$\frac{x^2-1}{x^2-2x+1}=0.$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$x^2-1=0,$$

$$x^2-2x+1=(x-1)^2\neq 0.$$

Из уравнения $$x^2-1=0$$ получаем:

$$x=\pm 1.$$

Но при $$x=1$$ знаменатель равен нулю, поэтому это значение не подходит. Остаётся

$$x=-1.$$

3) $$\frac{x^2-2x+1}{x^2-1}=0.$$

Тогда

$$x^2-2x+1=0,$$

$$x^2-1\neq 0.$$

Имеем:

$$x^2-2x+1=(x-1)^2=0,$$

$$x=1.$$

Но при $$x=1$$ знаменатель равен нулю, значит, это значение не подходит. Корней нет.

Ответ

1) $$7$$; 2) $$x=-1$$; 3) корней нет.