Упр.20.41 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение $$\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\right)^{-1}\left(\left(1+\frac{y}{x}\right)\frac{x}{x-y}\right)^{-2}$$.

$$\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\right)^{-1}\left(\left(1+\frac{y}{x}\right)\frac{x}{x-y}\right)^{-2}$$

Преобразуем каждую скобку:

$$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}=\frac{x^2-y^2}{xy}=\frac{(x-y)(x+y)}{xy},$$

$$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2=\frac{x^2+y^2-2xy}{xy}=\frac{(x-y)^2}{xy},$$

$$\left(1+\frac{y}{x}\right)\frac{x}{x-y}=\frac{x+y}{x}\cdot\frac{x}{x-y}=\frac{x+y}{x-y}.$$

Тогда

$$\frac{(x-y)(x+y)}{xy}\cdot\left(\frac{(x-y)^2}{xy}\right)^{-1}\cdot\left(\frac{x+y}{x-y}\right)^{-2}$$

$$=\frac{(x-y)(x+y)}{xy}\cdot\frac{xy}{(x-y)^2}\cdot\frac{(x-y)^2}{(x+y)^2}$$

Сокращаем:

$$=\frac{x-y}{x+y}.$$

При этом должны выполняться условия: $$x\neq 0,$$ $$y\neq 0,$$ $$x\neq y,$$ $$x\neq -y.$$

Ответ

$$\frac{x-y}{x+y}$$