Упр.20.39 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 20.39. При каких значениях параметра a уравнение a(2a+4)x^2 -(a+2)x-5a-10=0 имеет больше одного решения?

Подробный ответ

Рассмотрим уравнение

$$a(2a+4)x^2-(a+2)x-5a-10=0.$$

Нужно найти такие значения параметра $$a$$, при которых уравнение имеет больше одного решения.

1) Если $$a=0$$, то получаем

$$-2x-10=0,$$

откуда $$x=-5$$. Это один корень, значит, не подходит.

2) Если $$2a+4=0,$$ то $$a=-2$$. Тогда уравнение принимает вид

$$0\cdot x^2-0\cdot x+10-10=0,$$

то есть

$$0=0.$$

Следовательно, подходит любое значение $$x$$, значит, решений больше одного.

3) Если $$a\ne 0$$ и $$a\ne -2,$$ то это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

$$D=(a+2)^2-4\cdot a(2a+4)\cdot(-5a-10).$$

Упростим:

$$D=(a+2)^2+4a(2a+4)(5a+10).$$

Так как $$2a+4=2(a+2)$$ и $$5a+10=5(a+2),$$ получаем

$$D=(a+2)^2+40a(a+2)^2=(a+2)^2(1+40a).$$

Чтобы уравнение имело больше одного решения, нужно $$D>0$$:

$$ (a+2)^2(1+40a)>0.$$

Поскольку $$ (a+2)^2\ge 0$$ и при $$a\ne -2$$ оно положительно, знак дискриминанта определяется множителем $$1+40a$$. Поэтому

$$1+40a>0,$$

$$a>-\frac{1}{40}.$$

Но значение $$a=-2$$ уже рассмотрено отдельно и тоже подходит. При $$a=-\frac{1}{40}$$ дискриминант равен нулю, то есть корень один, поэтому это значение не подходит.

Итак, уравнение имеет больше одного решения при

$$a>-\frac{1}{40},\ a\ne -\frac{1}{40}?$$

С учётом отдельного случая $$a=-2$$ окончательно получаем:

$$a>0 \quad \text{или} \quad -\frac{1}{40}<a<0 \quad \text{или} \quad a=-2.$$