Упр.20.37 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) (b+3) x^2+(b+1)x-2=0; 2) (b-2) x^2+(4-2b)x+3=0?

1) Рассмотрим уравнение $$ (b+3)x^2+(b+1)x-2=0. $$

Если $$b+3=0,$$ то $$b=-3$$ и уравнение становится линейным:

$$(-3+1)x-2=0$$
$$-2x-2=0$$
$$x=-1.$$

Значит, при $$b=-3$$ уравнение имеет единственный корень.

Если $$b\ne -3,$$ то это квадратное уравнение. Для единственного корня нужно, чтобы $$D=0$$:

$$D=(b+1)^2-4\cdot (b+3)\cdot(-2)$$
$$D=b^2+2b+1+8b+24$$
$$D=b^2+10b+25=(b+5)^2.$$

Тогда

$$ (b+5)^2=0 \Rightarrow b=-5. $$

Итак, в первом случае $$b=-3$$ или $$b=-5.$$

2) Рассмотрим уравнение $$ (b-2)x^2+(4-2b)x+3=0. $$

Если $$b-2=0,$$ то $$b=2$$ и получаем:

$$0x^2+(4-2\cdot 2)x+3=0$$
$$3=0,$$

что невозможно, значит корней нет.

Если $$b\ne 2,$$ то уравнение квадратное. Для единственного корня нужно, чтобы $$D=0$$:

$$D=(4-2b)^2-4\cdot (b-2)\cdot 3$$
$$D=16-16b+4b^2-12b+24$$
$$D=4b^2-28b+40.$$

Решим уравнение:

$$4b^2-28b+40=0$$
$$b^2-7b+10=0$$
$$ (b-5)(b-2)=0.$$

Получаем $$b=5$$ или $$b=2.$$ Но $$b=2$$ не подходит, так как в этом случае корней нет. Значит, подходит только $$b=5.$$

Ответ

1) $$b=-3,\,-5$$; 2) $$b=5.$$