Упр.20.36 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

1) bx^2-6x-7=0; 3) (b-4) x^2+(2b-8)x+15=0;
2) (b+5) x^2-(b+6)x+3=0; 4) (b+2) x^2+(b^2+2b)x+b+2=0?

Подробный ответ

$$bx^2-6x-7=0$$
Если $$b=0$$, получаем линейное уравнение:
$$-6x-7=0$$
$$x=-\frac{7}{6}$$
Значит, при $$b=0$$ уравнение имеет единственный корень.
Если $$b\ne 0$$, то для единственного корня нужно, чтобы дискриминант был равен нулю:
$$D=(-6)^2-4\cdot b\cdot(-7)=36+28b$$
$$36+28b=0$$
$$b=-\frac{36}{28}=-\frac{9}{7}$$
Ответ: $$b=0$$ или $$b=-\frac{9}{7}$$.
$$\left(b+5\right)x^2-\left(b+6\right)x+3=0$$
Если $$b+5=0$$, то $$b=-5$$ и уравнение становится линейным:
$$-x+3=0$$
$$x=3$$
Значит, при $$b=-5$$ уравнение имеет единственный корень.
Если $$b\ne -5$$, то
$$D=\left(b+6\right)^2-4\cdot\left(b+5\right)\cdot 3$$
$$D=b^2+12b+36-12b-60=b^2-24$$
Для единственного корня:
$$b^2-24=0$$
$$b^2=24$$
$$b=\pm 2\sqrt{6}$$
Ответ: $$b=-5$$ или $$b=\pm 2\sqrt{6}$$.
$$\left(b-4\right)x^2+\left(2b-8\right)x+15=0$$
Если $$b-4=0$$, то $$b=4$$ и получаем линейное уравнение:
$$0x^2+0x+15=0$$
$$15=0$$
Решений нет, значит этот случай не подходит.
Если $$b\ne 4$$, то
$$D=\left(2b-8\right)^2-4\left(b-4\right)\cdot 15$$
$$D=4\left(b-4\right)^2-60\left(b-4\right)=4\left(b-4\right)\left(b-19\right)$$
Для единственного корня:
$$4\left(b-4\right)\left(b-19\right)=0$$
$$b=4 \text{ или } b=19$$
Значение $$b=4$$ не подходит, поэтому
Ответ: $$b=19$$.
$$\left(b+2\right)x^2+\left(b^2+2b\right)x+b+2=0$$
Если $$b+2=0$$, то $$b=-2$$ и уравнение превращается в тождество:
$$0x^2+0x+0=0$$
Тогда решений бесконечно много, значит этот случай не подходит.
Если $$b\ne -2$$, то
$$D=\left(b^2+2b\right)^2-4\left(b+2\right)^2$$
$$D=b^2\left(b+2\right)^2-4\left(b+2\right)^2=\left(b+2\right)^2\left(b^2-4\right)$$
Для единственного корня:
$$\left(b+2\right)^2\left(b^2-4\right)=0$$
$$b=-2 \text{ или } b=\pm 2$$
Значение $$b=-2$$ не подходит, остаётся
Ответ: $$b=2$$ или $$b=-2$$, но $$b=-2$$ не подходит, значит $$b=2$$.