Упр.20.35 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) x^2-(2a-5)x-3a^2+5a=0; 2) ax^2-(a+1)x+1=0.

1) Рассмотрим уравнение

$$x^2-(2a-5)x-3a^2+5a=0.$$

Найдём дискриминант:

$$ D=(2a-5)^2-4(-3a^2+5a)=4a^2-20a+25+12a^2-20a=16a^2-40a+25=(4a-5)^2. $$

Тогда

$$ x_{1,2}=\frac{2a-5\pm \sqrt{(4a-5)^2}}{2} =\frac{2a-5\pm (4a-5)}{2}. $$

Получаем:

$$ x_1=\frac{2a-5-(4a-5)}{2}=\frac{-2a}{2}=-a, $$

$$ x_2=\frac{2a-5+(4a-5)}{2}=\frac{6a-10}{2}=3a-5. $$

2) Рассмотрим уравнение

$$ax^2-(a+1)x+1=0.$$

Если $$a=0$$, то уравнение принимает вид

$$-x+1=0,$$

откуда $$x=1$$.

Если $$a\ne 0$$, то найдём дискриминант:

$$ D=(a+1)^2-4a=a^2+2a+1-4a=a^2-2a+1=(a-1)^2. $$

Тогда

$$ x_{1,2}=\frac{a+1\pm \sqrt{(a-1)^2}}{2a} =\frac{a+1\pm (a-1)}{2a}. $$

Получаем:

$$ x_1=\frac{a+1-(a-1)}{2a}=\frac{2}{2a}=\frac{1}{a}, $$

$$ x_2=\frac{a+1+(a-1)}{2a}=\frac{2a}{2a}=1. $$

Ответ

1) $$x=-a$$ или $$x=3a-5$$.

2) Если $$a=0$$, то $$x=1$$; если $$a\ne 0$$, то $$x=\frac{1}{a}$$ или $$x=1$$.