Упр.20.35 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Для каждого значения параметра $$a$$ решите уравнение:
1) $$x^2-(2a-5)x-3a^2+5a=0$$;
2) $$ax^2-(a+1)x+1=0$$.

1) Рассмотрим уравнение

$$x^2-(2a-5)x-3a^2+5a=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(2a-5)^2-4(-3a^2+5a)=4a^2-20a+25+12a^2-20a=16a^2-40a+25=(4a-5)^2.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{2a-5\pm \sqrt{(4a-5)^2}}{2} =\frac{2a-5\pm (4a-5)}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=\frac{2a-5-(4a-5)}{2}=\frac{-2a}{2}=-a,$$

$$x_2=\frac{2a-5+(4a-5)}{2}=\frac{6a-10}{2}=3a-5.$$

2) Рассмотрим уравнение

$$ax^2-(a+1)x+1=0.$$

Если $$a=0$$, то уравнение принимает вид

$$-x+1=0,$$

откуда $$x=1$$.

Если $$a\ne 0$$, то найдём дискриминант:

$$D=(a+1)^2-4a=a^2+2a+1-4a=a^2-2a+1=(a-1)^2.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{a+1\pm \sqrt{(a-1)^2}}{2a} =\frac{a+1\pm (a-1)}{2a}.$$

Получаем:

$$x_1=\frac{a+1-(a-1)}{2a}=\frac{2}{2a}=\frac{1}{a},$$

$$x_2=\frac{a+1+(a-1)}{2a}=\frac{2a}{2a}=1.$$

Ответ

1) $$x=-a$$ или $$x=3a-5$$.

2) Если $$a=0$$, то $$x=1$$; если $$a\ne 0$$, то $$x=\frac{1}{a}$$ или $$x=1$$.