Упр.20.34 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) x^2+(3a+1)x+2a^2+a=0; 3) a^2 x^2-24ax-25=0;
2) x^2-(2a+4)x+8a=0; 4) 3(2a-1) x^2-2(a+1)x+1=0.

1. $$x^2+(3a+1)x+2a^2+a=0$$

   Найдём дискриминант:

   $$D=(3a+1)^2-4(2a^2+a)=9a^2+6a+1-8a^2-4a=(a+1)^2.$$

   Тогда

   $$ x_{1,2}=\frac{-(3a+1)\pm(a+1)}{2}. $$

   $$ x_1=\frac{-(3a+1)-(a+1)}{2}=\frac{-4a-2}{2}=-2a-1, $$

   $$ x_2=\frac{-(3a+1)+(a+1)}{2}=\frac{-2a}{2}=-a. $$

2. $$x^2-(2a+4)x+8a=0$$

   Найдём дискриминант:

   $$D=(2a+4)^2-4\cdot 8a=4a^2+16a+16-32a=(2a-4)^2.$$

   Тогда

   $$ x_{1,2}=\frac{2a+4\pm(2a-4)}{2}. $$

   $$ x_1=\frac{2a+4-(2a-4)}{2}=\frac{8}{2}=4, $$

   $$ x_2=\frac{2a+4+(2a-4)}{2}=\frac{4a}{2}=2a. $$

3. $$a^2x^2-24ax-25=0$$

   Если $$a=0$$, получаем:

   $$-25=0,$$

   что невозможно, значит, корней нет.

   Если $$a\ne 0$$, то

   $$D=(-24a)^2-4\cdot a^2\cdot(-25)=576a^2+100a^2=676a^2.$$

   Тогда

   $$ x_{1,2}=\frac{24a\pm 26a}{2a^2}. $$

   $$ x_1=\frac{24a-26a}{2a^2}=\frac{-2a}{2a^2}=-\frac1a, $$

   $$ x_2=\frac{24a+26a}{2a^2}=\frac{50a}{2a^2}=\frac{25}{a}. $$

4. $$3(2a-1)x^2-2(a+1)x+1=0$$

   Если $$3(2a-1)=0,$$ то $$a=\frac12.$$ Тогда уравнение принимает вид

   $$-2\left(\frac12+1\right)x+1=0,$$

   $$-3x+1=0,$$

   $$x=\frac13.$$

   Если $$a\ne \frac12,$$ то найдём дискриминант:

   $$ D=[-2(a+1)]^2-4\cdot 3(2a-1)\cdot 1 =4(a+1)^2-12(2a-1) =4a^2-16a+16=(2a-4)^2. $$

   Тогда

   $$ x_{1,2}=\frac{2(a+1)\pm(2a-4)}{6(2a-1)}. $$

   $$ x_1=\frac{2a+2-(2a-4)}{6(2a-1)}=\frac{6}{6(2a-1)}=\frac1{2a-1}, $$

   $$ x_2=\frac{2a+2+(2a-4)}{6(2a-1)}=\frac{4a-2}{6(2a-1)}=\frac13. $$

Ответ

1) $$x=-2a-1$$ или $$x=-a$$;
2) $$x=4$$ или $$x=2a$$;
3) при $$a=0$$ корней нет, при $$a\ne 0$$ $$x=-\frac1a$$ или $$x=\frac{25}{a}$$;
4) при $$a=\frac12$$ $$x=\frac13$$, при $$a\ne \frac12$$ $$x=\frac1{2a-1}$$ или $$x=\frac13$$.