Упр.20.32 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

1) |x^2+x-3|=x; 3) |x-2|=x^2-2x;
2) |x^2+x-1|=2x-1; 4) |2x+1|=x^2-x-1.

Подробный ответ

$$|x^2+x-3|=x$$
Так как левая часть неотрицательна, то $$x\ge 0$$.
Рассмотрим два случая:
$$x^2+x-3=x \Rightarrow x^2-3=0 \Rightarrow x=\pm\sqrt{3}$$
С учётом $$x\ge 0$$ подходит только $$x=\sqrt{3}$$.
$$x^2+x-3=-x \Rightarrow x^2+2x-3=0$$
$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-3)=16$$
$$x_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{2}$$
$$x_1=1,\quad x_2=-3$$
С учётом $$x\ge 0$$ подходит только $$x=1$$.
$$|x^2+x-1|=2x-1$$
Так как правая часть неотрицательна, то $$2x-1\ge 0$$, значит $$x\ge \frac12$$.
Рассмотрим два случая:
$$x^2+x-1=2x-1 \Rightarrow x^2-x=0 \Rightarrow x(x-1)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=1$$
С учётом $$x\ge \frac12$$ подходит только $$x=1$$.
$$x^2+x-1=1-2x \Rightarrow x^2+3x-2=0$$
$$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-2)=17$$
$$x_{1,2}=\frac{-3\pm \sqrt{17}}{2}$$
Из них условию $$x\ge \frac12$$ удовлетворяет только
$$x=\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$$
$$|x-2|=x^2-2x$$
Правая часть должна быть неотрицательной:
$$x^2-2x\ge 0 \Rightarrow x(x-2)\ge 0$$
Рассмотрим два случая:
$$x-2=x^2-2x \Rightarrow x^2-3x+2=0$$
$$D=3^2-4\cdot 1\cdot 2=1$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm 1}{2}$$
$$x_1=1,\quad x_2=2$$
Проверка условия $$x\ge 2$$ даёт только $$x=2$$.
$$2-x=x^2-2x \Rightarrow x^2-x-2=0$$
$$D=1+8=9$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2}$$
$$x_1=-1,\quad x_2=2$$
Проверка условия $$x<2$$ даёт только $$x=-1$$.
$$|2x+1|=x^2-x-1$$
Правая часть неотрицательна:
$$x^2-x-1\ge 0$$
Рассмотрим два случая:
$$2x+1=x^2-x-1 \Rightarrow x^2-3x-2=0$$
$$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-2)=17$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm \sqrt{17}}{2}$$
Из них условию $$x\ge -\frac12$$ удовлетворяет только
$$x=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$$
$$-2x-1=x^2-x-1 \Rightarrow x^2+x=0$$
$$x(x+1)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=-1$$
Оба значения подходят условию $$x<-\frac12$$.