Упр.20.21 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

1) x^2-7|x|+6=0; 2) |x^2-x-1|=1;
3) x|x|+12x-45=0; 4) 3x^2+7|x|-6=0;
5) 2x^2-(13x^2)/|x| +6=0; 6) x^3/|x| -14x-15=0;
7) x^2-8v(x^2 )-9=0; 8) x^2+7v(x^2 )+12=0;
9) x^2+|x+4|=4; 10) x|x-2|-6x+8=0.

Подробный ответ

$$x^2-7|x|+6=0$$
Положим $$t=|x|,\; t\ge 0$$. Тогда $$x^2=t^2$$ и получаем
$$t^2-7t+6=0$$
$$ (t-1)(t-6)=0 $$
$$t=1 \text{ или } t=6$$
Значит, $$|x|=1$$ или $$|x|=6$$, откуда
$$x=\pm 1,\ \pm 6$$
$$|x^2-x-1|=1$$
Рассмотрим два случая:
$$x^2-x-1=1 \quad \text{или} \quad x^2-x-1=-1$$
1) $$x^2-x-2=0$$
$$ (x-2)(x+1)=0 $$
$$x=2 \text{ или } x=-1$$
2) $$x^2-x=0$$
$$x(x-1)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=1$$
$$x|x|+12x-45=0$$
Если $$x\ge 0$$, то $$|x|=x$$ и
$$x^2+12x-45=0$$
$$D=12^2-4\cdot 1\cdot(-45)=324$$
$$x=\frac{-12\pm 18}{2}$$
$$x=3,\ -15$$
Подходит только $$x=3$$.
Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$ и
$$-x^2+12x-45=0$$
$$x^2-12x+45=0$$
$$D=144-180=-36<0$$
Корней нет.
$$3x^2+7|x|-6=0$$
Если $$x\ge 0$$, то
$$3x^2+7x-6=0$$
$$D=7^2-4\cdot 3\cdot(-6)=121$$
$$x=\frac{-7\pm 11}{6}$$
$$x=\frac{2}{3},\ -3$$
Подходит $$x=\frac{2}{3}$$.
Если $$x<0$$, то
$$3x^2-7x-6=0$$
$$D=121$$
$$x=\frac{7\pm 11}{6}$$
$$x=3,\ -\frac{2}{3}$$
Подходит $$x=-\frac{2}{3}$$.
$$2x^2-\frac{13x^2}{|x|}+6=0$$
$$x\ne 0$$, поэтому $$\frac{x^2}{|x|}=|x|$$. Тогда
$$2x^2-13|x|+6=0$$
Если $$x>0$$, то
$$2x^2-13x+6=0$$
$$D=13^2-4\cdot 2\cdot 6=121$$
$$x=\frac{13\pm 11}{4}$$
$$x=6,\ \frac{1}{2}$$
Если $$x<0$$, то
$$2x^2+13x+6=0$$
$$D=121$$
$$x=\frac{-13\pm 11}{4}$$
$$x=-6,\ -\frac{1}{2}$$
$$\frac{x^3}{|x|}-14x-15=0$$
Так как $$\frac{x^3}{|x|}=x^2$$ при $$x>0$$ и $$\frac{x^3}{|x|}=-x^2$$ при $$x<0$$, получаем:
Если $$x>0$$, то
$$x^2-14x-15=0$$
$$D=196+60=256$$
$$x=\frac{14\pm 16}{2}$$
$$x=15,\ -1$$
Подходит $$x=15$$.
Если $$x<0$$, то
$$-x^2-14x-15=0$$
$$x^2+14x+15=0$$
$$D=196-60=136$$
$$x=\frac{-14\pm \sqrt{136}}{2}=-7\pm \sqrt{34}$$
Подходит только $$x=-7-\sqrt{34}$$.
$$x^2-8\sqrt{x^2}-9=0$$
Так как $$\sqrt{x^2}=|x|$$, имеем
$$x^2-8|x|-9=0$$
Если $$x\ge 0$$, то
$$x^2-8x-9=0$$
$$D=64+36=100$$
$$x=\frac{8\pm 10}{2}$$
$$x=9,\ -1$$
Подходит $$x=9$$.
Если $$x<0$$, то
$$x^2+8x-9=0$$
$$D=64+36=100$$
$$x=\frac{-8\pm 10}{2}$$
$$x=1,\ -9$$
Подходит $$x=-9$$.
$$x^2+7\sqrt{x^2}+12=0$$
$$x^2+7|x|+12=0$$
Если $$x\ge 0$$, то
$$x^2+7x+12=0$$
$$ (x+3)(x+4)=0 $$
$$x=-3,\ -4$$
Оба корня не подходят, так как $$x\ge 0$$.
Если $$x<0$$, то
$$x^2-7x+12=0$$
$$ (x-3)(x-4)=0 $$
$$x=3,\ 4$$
Оба корня не подходят, так как $$x<0$$.
$$x^2+|x+4|=4$$
Если $$x+4\ge 0$$, то
$$x^2+x+4=4$$
$$x^2+x=0$$
$$x(x+1)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=-1$$
Оба корня удовлетворяют условию $$x\ge -4$$.
Если $$x+4<0$$, то
$$x^2-x-4=4$$
$$x^2-x-8=0$$
$$D=1+32=33$$
$$x=\frac{1\pm \sqrt{33}}{2}$$
Оба корня не удовлетворяют условию $$x<-4$$.
$$x|x-2|-6x+8=0$$
Если $$x\ge 2$$, то $$|x-2|=x-2$$ и
$$x(x-2)-6x+8=0$$
$$x^2-8x+8=0$$
$$D=64-32=32$$
$$x=\frac{8\pm \sqrt{32}}{2}=4\pm 2\sqrt{2}$$
Подходит только $$x=4+2\sqrt{2}$$.
Если $$x<2$$, то $$|x-2|=2-x$$ и
$$x(2-x)-6x+8=0$$
$$-x^2-4x+8=0$$
$$x^2+4x-8=0$$
$$D=16+32=48$$
$$x=\frac{-4\pm \sqrt{48}}{2}=-2\pm 2\sqrt{3}$$
Подходит только $$x=-2-2\sqrt{3}$$.