Упр.20.20 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) |x^2-x-5|=1; 2) x^2-4|x|-21=0;
3) x|x|+6x-5=0; 4) x^2+(4x^2)/|x| -12=0;
5) x^2+6|x|+8=0; 6) x^2-|x-5|=5;
7) x|2x+1|-3x-4=0; 8) x^2-8v(x^2 )+15=0;
9) x^2+4v(x^2 )-12=0; 10) |(|x^2-6x+4|-3)|=1.

1. $$|x^2-x-5|=1$$

   Рассмотрим два случая:
   $$x^2-x-5=1 \quad \text{или} \quad x^2-x-5=-1.$$
   Тогда
   $$x^2-x-6=0 \quad \text{или} \quad x^2-x-4=0.$$
   Получаем:
   $$x=-2,\; x=3,\; x=\frac{1-\sqrt{17}}{2},\; x=\frac{1+\sqrt{17}}{2}.$$

2. $$x^2-4|x|-21=0$$

   Пусть $$t=|x|,\; t\ge 0.$$ Тогда $$x^2=t^2,$$ и уравнение принимает вид
   $$t^2-4t-21=0.$$
   $$\left(t-7\right)\left(t+3\right)=0,$$
   откуда $$t=7$$ или $$t=-3.$$ Так как $$t\ge 0,$$ то $$t=7.$$
   Значит,
   $$|x|=7 \Rightarrow x=\pm 7.$$

3. $$x|x|+6x-5=0$$

   Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x$$ и
   $$x^2+6x-5=0.$$
   Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x$$ и
   $$-x^2+6x-5=0.$$
   Из первого уравнения:
   $$x=-3\pm \sqrt{14}.$$
   Подходит только $$x=-3+\sqrt{14}$$, так как второй корень отрицателен.
   Из второго уравнения корни $$x=5$$ и $$x=1$$ не удовлетворяют условию $$x<0.$$

4. $$x^2+\frac{4x^2}{|x|}-12=0$$

   Здесь $$x\ne 0.$$ Тогда
   $$\frac{x^2}{|x|}=|x|,$$
   и уравнение равносильно
   $$x^2+4|x|-12=0.$$
   Если $$x\ge 0,$$ то
   $$x^2+4x-12=0,$$
   откуда $$x=2$$ или $$x=-6.$$ Подходит $$x=2.$$
   Если $$x<0,$$ то
   $$x^2-4x-12=0,$$
   откуда $$x=-2$$ или $$x=6.$$ Подходит $$x=-2.$$
   Следовательно,
   $$x=\pm 2.$$

5. $$x^2+6|x|+8=0$$

   Пусть $$t=|x|,\; t\ge 0.$$ Тогда
   $$t^2+6t+8=0,$$
   $$\left(t+2\right)\left(t+4\right)=0.$$
   Получаем $$t=-2$$ или $$t=-4,$$ но это невозможно, так как $$t\ge 0.$$
   Корней нет.

6. $$x^2-|x-5|=5$$

   Рассмотрим случаи.
   Если $$x\ge 5,$$ то $$|x-5|=x-5$$ и
   $$x^2-x+5=5,$$
   $$x^2-x=0,$$
   $$x(x-1)=0.$$
   Корни $$x=0$$ и $$x=1$$ не подходят условию $$x\ge 5.$$
   Если $$x<5,$$ то $$|x-5|=5-x$$ и
   $$x^2+x-5=5,$$
   $$x^2+x-10=0.$$
   $$D=1+40=41,$$
   $$x=\frac{-1\pm \sqrt{41}}{2}.$$
   Оба корня удовлетворяют условию $$x<5.$$

7. $$x|2x+1|-3x-4=0$$

   Если $$2x+1\ge 0,$$ то $$|2x+1|=2x+1$$ и
   $$2x^2-x-4=0.$$
   $$D=1+32=33,$$
   $$x=\frac{1\pm \sqrt{33}}{4}.$$
   Из них условию $$x\ge -\frac12$$ удовлетворяет только
   $$x=\frac{1+\sqrt{33}}{4}.$$
   Если $$2x+1<0,$$ то $$|2x+1|=-2x-1$$ и
   $$-2x^2-4x-4=0,$$
   $$x^2+2x+2=0.$$
   Дискриминант отрицателен, корней нет.

8. $$x^2-8\sqrt{x^2}+15=0$$

   Так как $$\sqrt{x^2}=|x|,$$ получаем
   $$x^2-8|x|+15=0.$$
   Пусть $$t=|x|,\; t\ge 0.$$ Тогда
   $$t^2-8t+15=0,$$
   $$\left(t-3\right)\left(t-5\right)=0.$$
   Значит, $$t=3$$ или $$t=5,$$ то есть
   $$x=\pm 3,\; x=\pm 5.$$

9. $$x^2+4\sqrt{x^2}-12=0$$

   Так как $$\sqrt{x^2}=|x|,$$ имеем
   $$x^2+4|x|-12=0.$$
   Пусть $$t=|x|,\; t\ge 0.$$ Тогда
   $$t^2+4t-12=0,$$
   $$\left(t-2\right)\left(t+6\right)=0.$$
   Отсюда $$t=2,$$ значит
   $$|x|=2 \Rightarrow x=\pm 2.$$

10. $$\left||x^2-6x+4|-3\right|=1$$

    Обозначим
    $$u=|x^2-6x+4|.$$
    Тогда
    $$|u-3|=1,$$
    откуда
    $$u-3=1 \quad \text{или} \quad u-3=-1.$$
    Значит,
    $$u=4 \quad \text{или} \quad u=2.$$
    1) $$|x^2-6x+4|=4$$
    $$x^2-6x+4=4 \quad \text{или} \quad x^2-6x+4=-4,$$
    откуда
    $$x^2-6x=0 \quad \text{или} \quad x^2-6x+8=0.$$
    Получаем
    $$x=0,\; x=6,\; x=2,\; x=4.$$
    2) $$|x^2-6x+4|=2$$
    $$x^2-6x+4=2 \quad \text{или} \quad x^2-6x+4=-2,$$
    откуда
    $$x^2-6x+2=0 \quad \text{или} \quad x^2-6x+6=0.$$
    Тогда
    $$x=3\pm \sqrt{7},\quad x=3\pm \sqrt{3}.$$

Ответ

1) $$x=-2,\; 3,\; \frac{1-\sqrt{17}}{2},\; \frac{1+\sqrt{17}}{2}$$
2) $$x=\pm 7$$
3) $$x=-3+\sqrt{14}$$
4) $$x=\pm 2$$
5) корней нет
6) $$x=\frac{-1\pm \sqrt{41}}{2}$$
7) $$x=\frac{1+\sqrt{33}}{4}$$
8) $$x=\pm 3,\; \pm 5$$
9) $$x=\pm 2$$
10) $$x=0,\; 2,\; 4,\; 6,\; 3\pm \sqrt{7},\; 3\pm \sqrt{3}$$