Упр.20.17 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Сколько сторон у многоугольника, если в нём можно провести 90 диагоналей?

Число диагоналей многоугольника с n сторонами вычисляется по формуле

$$D=\frac{n(n-3)}{2}.$$

По условию задачи:

$$\frac{n(n-3)}{2}=90.$$

Умножим обе части на 2:

$$n(n-3)=180.$$

Получаем квадратное уравнение:

$$n^2-3n-180=0.$$

Найдём корни:

$$D= (-3)^2-4\cdot 1\cdot(-180)=9+720=729,$$

$$\sqrt{729}=27.$$

Тогда

$$n=\frac{3\pm 27}{2}.$$

$$n_1=\frac{3+27}{2}=15,\qquad n_2=\frac{3-27}{2}=-12.$$

Отрицательное значение не подходит, значит, число сторон многоугольника равно 15.

Ответ

15 сторон.