Упр.2.19 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 2.19. Найдите подмножества A и B множества С, где C??, такие, что для любого подмножества X множества С выполняется равенство X ? A = X ? B.

Пусть для любого подмножества $$X$$ множества $$C$$ выполняется равенство

$$X \cap A = X \cup B.$$

Возьмём сначала $$X = C$$. Тогда

$$C \cap A = C \cup B.$$

Левая часть не превосходит $$C$$, а правая содержит $$C$$. Значит,

$$C \cap A = C,$$

откуда

$$A = C.$$

Теперь возьмём $$X = \varnothing$$. Получаем

$$\varnothing \cap A = \varnothing \cup B,$$

то есть

$$\varnothing = B.$$

Следовательно, искомые подмножества:

$$A = C,\quad B = \varnothing.$$

Ответ

$$A = C,\quad B = \varnothing.$$