Упр.195 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Просвещение: Кастрюля стоила на 510 р. меньше, чем сковорода. Во время распродажи кастрюля подешевела на 10 %, а сковорода — на 20 %, после чего кастрюлю и сковороду вместе можно было приобрести за 1156 р. Какова первоначальная цена кастрюли и какова — сковороды? Докажите, что при любом натуральном n значение выражения 3^(n+2) -2^(n+2) + 3^n — 2^n делится надело на 10.

Пусть первоначальная цена кастрюли равна $$x$$ р. Тогда первоначальная цена сковороды равна $$x+510$$ р.

После распродажи кастрюля стала стоить $$0{,}9x$$ р., а сковорода —

$$ (x+510)-0{,}2(x+510)=0{,}8x+408. $$

По условию вместе они стали стоить $$1156$$ р., значит:

$$ 0{,}9x+(0{,}8x+408)=1156 $$

$$ 1{,}7x+408=1156 $$

$$ 1{,}7x=748 $$

$$ x=440. $$

Тогда первоначальная цена сковороды:

$$ 440+510=950. $$

Проверим делимость выражения на $$10$$:

$$ 3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n=(3^{n+2}+3^n)-(2^{n+2}+2^n) $$

$$ =3^n(3^2+1)-2^n(2^2+1)=3^n\cdot 10-2^n\cdot 5 $$

$$ =10\left(3^n-2^{n-1}\right). $$

Следовательно, выражение делится на $$10$$ при любом натуральном $$n$$.

Ответ

$$440$$ р. и $$950$$ р.; выражение делится на $$10$$.