Упр.193 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при любом натуральном $$n$$ значение выражения $$3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n$$ делится нацело на $$10$$.
2. Решите уравнение:
   
   1) $$(3x-1)(4x+5)-(2x+3)(6x+1)=4$$;
   
   2) $$8x(2x+7)-(4x+3)^2=15$$.

1) Преобразуем выражение:

$$3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n=(3^{n+2}+3^n)-(2^{n+2}+2^n)$$

$$=3^n(3^2+1)-2^n(2^2+1)=3^n\cdot 10-2^n\cdot 5$$

$$=10\cdot 3^n-5\cdot 2^n=10\left(3^n-2^{n-1}\right)$$

Так как выражение представлено в виде произведения на $$10$$, оно делится на $$10$$ при любом натуральном $$n$$.

2) Решим уравнение:

$$(3x-1)(4x+5)-(2x+3)(6x+1)=4$$

Раскроем скобки:

$$12x^2+15x-4x-5-(12x^2+2x+18x+3)=4$$

$$12x^2+11x-5-12x^2-20x-3=4$$

$$-9x-8=4$$

$$-9x=12$$

$$x=-\frac{12}{9}=-\frac{4}{3}$$

3) Решим уравнение:

$$8x(2x+7)-(4x+3)^2=15$$

Раскроем скобки:

$$16x^2+56x-(16x^2+24x+9)=15$$

$$32x-9=15$$

$$32x=24$$

$$x=\frac{24}{32}=\frac{3}{4}$$

Ответ

Выражение делится на $$10$$ при любом натуральном $$n$$; 1) $$x=-\frac{4}{3}$$; 2) $$x=\frac{3}{4}$$.