Упр.191 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$(3x-1)(4x+5)-(2x+3)(6x+1)=4$$;
   2) $$8x(2x+7)-(4x+3)^2=15$$.
2. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной выражение $$\frac{b^2+9}{3b^2-b^3}+\left(\frac{b+3}{b-3}\right)^2\left(\frac{1}{b-3}+\frac{6}{9-b^2}-\frac{3}{b^2+3b}\right)$$ принимает положительные значения.

1. $$(3x-1)(4x+5)-(2x+3)(6x+1)=4$$

   Раскроем скобки:
   $$12x^2+15x-4x-5-(12x^2+2x+18x+3)=4$$
   $$12x^2+11x-5-12x^2-20x-3=4$$
   $$-9x-8=4$$
   $$-9x=12$$
   $$x=-\frac{12}{9}=-\frac{4}{3}$$

2. $$8x(2x+7)-(4x+3)^2=15$$

   Раскроем скобки:
   $$16x^2+56x-(16x^2+24x+9)=15$$
   $$16x^2+56x-16x^2-24x-9=15$$
   $$32x-9=15$$
   $$32x=24$$
   $$x=\frac{24}{32}=\frac{3}{4}$$

3. Рассмотрим выражение
   $$\frac{b^2+9}{3b^2-b^3}+\left(\frac{b+3}{b-3}\right)^2\left(\frac{1}{b-3}+\frac{6}{9-b^2}-\frac{3}{b^2+3b}\right).$$

   Область допустимых значений:
   $$b\neq 0,\quad b\neq 3,\quad b\neq -3.$$

   Преобразуем:
   $$\frac{b^2+9}{3b^2-b^3}=\frac{b^2+9}{b^2(3-b)}$$
   $$\left(\frac{b+3}{b-3}\right)^2\left(\frac{1}{b-3}+\frac{6}{9-b^2}-\frac{3}{b^2+3b}\right) =\frac{b+3}{b-3}\cdot\frac{b^2-6b+9}{b(b-3)}$$
   $$=\frac{b+3}{b-3}\cdot\frac{(b-3)^2}{b(b-3)}=\frac{b+3}{b}$$

   Тогда всё выражение равно:
   $$\frac{b^2+9}{b^2(3-b)}+\frac{b+3}{b} =\frac{b^2+9+b(b+3)(3-b)}{b^2(3-b)}$$
   $$=\frac{b^2+9+3b^2+9b-b^3-b^2}{b^2(3-b)} =\frac{3(3-b)}{b^2(3-b)}=\frac{3}{b^2}.$$

   Так как при допустимых значениях переменной $$b\neq 0$$, то $$b^2>0$$, следовательно,
   $$\frac{3}{b^2}>0.$$
   Значит, выражение принимает положительные значения.

Ответ

1) $$x=-\frac{4}{3}$$; 2) $$x=\frac{3}{4}$$; выражение равно $$\frac{3}{b^2}$$ и положительно при всех допустимых значениях $$b$$.