Упр.185 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2025 года. Упростите выражение: 1) $$\frac{\frac{a-b}{a+b}+\frac{b}{a}}{\frac{a}{a+b}-\frac{a-b}{a}}$$.
2. Задание учебника 2019 года. Докажите, что значение выражения не зависит от значения входящей в него переменной: 1) $$\frac{3x^2-27}{4x^2+2}\cdot\left(\frac{6x+1}{x-3}+\frac{6x-1}{x+3}\right)$$.

1. Упростим выражение

   $$\frac{\frac{a-b}{a+b}+\frac{b}{a}}{\frac{a}{a+b}-\frac{a-b}{a}}.$$

   Приведём числитель и знаменатель к общим знаменателям:

   $$\frac{a-b}{a+b}+\frac{b}{a}=\frac{a(a-b)+b(a+b)}{a(a+b)}=\frac{a^2-ab+ab+b^2}{a(a+b)}=\frac{a^2+b^2}{a(a+b)},$$

   $$\frac{a}{a+b}-\frac{a-b}{a}=\frac{a^2-(a-b)(a+b)}{a(a+b)}=\frac{a^2-(a^2-b^2)}{a(a+b)}=\frac{b^2}{a(a+b)}.$$

   Тогда

   $$\frac{\frac{a^2+b^2}{a(a+b)}}{\frac{b^2}{a(a+b)}}=\frac{a^2+b^2}{b^2}.$$

2. Докажем, что значение выражения не зависит от переменной:

   $$\frac{3x^2-27}{4x^2+2}\cdot\left(\frac{6x+1}{x-3}+\frac{6x-1}{x+3}\right).$$

   Разложим на множители:

   $$3x^2-27=3(x^2-9)=3(x-3)(x+3),$$

   $$4x^2+2=2(2x^2+1).$$

   Сложим дроби в скобках:

   $$\frac{6x+1}{x-3}+\frac{6x-1}{x+3}=\frac{(6x+1)(x+3)+(6x-1)(x-3)}{(x-3)(x+3)}.$$

   Числитель:

   $$(6x+1)(x+3)+(6x-1)(x-3)= 6x^2+18x+x+3+6x^2-18x-x+3=12x^2+6=6(2x^2+1).$$

   Тогда

   $$\frac{3(x-3)(x+3)}{2(2x^2+1)}\cdot \frac{6(2x^2+1)}{(x-3)(x+3)}=9.$$

   Значение выражения не зависит от $$x$$.

Ответ

1) $$\frac{a^2+b^2}{b^2}$$; 2) $$9$$.