Упр.183 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) (3×2-27)/(4×2+2) * ((6x+1)/(x-3) + (6x-1)/(x+3)); Докажите тождество:
1) (b/(a2-ab) — 2/(a-b) — a/(b2-ab)) : (a2-b2)/4ab = 4/(a+b);

Подробный ответ

1) Преобразуем выражение:

$$ \frac{3x^2-27}{4x^2+2}\cdot\left(\frac{6x+1}{x-3}+\frac{6x-1}{x+3}\right) $$
$$ =\frac{3(x^2-9)}{2(2x^2+1)}\cdot\frac{(6x+1)(x+3)+(6x-1)(x-3)}{(x-3)(x+3)} $$
$$ =\frac{3(x-3)(x+3)}{2(2x^2+1)}\cdot\frac{6x^2+18x+x+3+6x^2-18x-x+3}{(x-3)(x+3)} $$
$$ =\frac{3(x-3)(x+3)}{2(2x^2+1)}\cdot\frac{12x^2+6}{(x-3)(x+3)} $$
$$ =\frac{3\cdot 6(2x^2+1)}{2(2x^2+1)}=9. $$
Значение выражения не зависит от переменной.

2) Упростим тождество:

$$ \left(\frac{b}{a^2-ab}-\frac{2}{a-b}-\frac{a}{b^2-ab}\right):\frac{a^2-b^2}{4ab} $$
$$ =\left(\frac{b}{a(a-b)}-\frac{2}{a-b}-\frac{a}{b(b-a)}\right)\cdot\frac{4ab}{a^2-b^2} $$
$$ =\left(\frac{b}{a(a-b)}-\frac{2}{a-b}+\frac{a}{b(a-b)}\right)\cdot\frac{4ab}{(a-b)(a+b)}. $$

Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

$$ \frac{b^2-2ab+a^2}{ab(a-b)}=\frac{(a-b)^2}{ab(a-b)}=\frac{a-b}{ab}. $$

Тогда

$$ \frac{a-b}{ab}\cdot\frac{4ab}{(a-b)(a+b)}=\frac{4}{a+b}. $$

Тождество доказано.