Упр.183 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

Докажите, что значение выражения не зависит от значения входящей в него переменной: $$\frac{3x^2-27}{4x^2+2}\cdot\left(\frac{6x+1}{x-3}+\frac{6x-1}{x+3}\right).$$

Докажите тождество: $$\left(\frac{b}{a^2-ab}-\frac{2}{a-b}-\frac{a}{b^2-ab}\right):\frac{a^2-b^2}{4ab}=\frac{4}{a+b}.$$

Подробный ответ

1) Преобразуем выражение:

$$\frac{3x^2-27}{4x^2+2}\cdot\left(\frac{6x+1}{x-3}+\frac{6x-1}{x+3}\right)$$
$$=\frac{3(x^2-9)}{2(2x^2+1)}\cdot\frac{(6x+1)(x+3)+(6x-1)(x-3)}{(x-3)(x+3)}$$
$$=\frac{3(x-3)(x+3)}{2(2x^2+1)}\cdot\frac{6x^2+18x+x+3+6x^2-18x-x+3}{(x-3)(x+3)}$$
$$=\frac{3(x-3)(x+3)}{2(2x^2+1)}\cdot\frac{12x^2+6}{(x-3)(x+3)}$$
$$=\frac{3\cdot 6(2x^2+1)}{2(2x^2+1)}=9.$$
Значение выражения не зависит от переменной.

2) Упростим тождество:

$$\left(\frac{b}{a^2-ab}-\frac{2}{a-b}-\frac{a}{b^2-ab}\right):\frac{a^2-b^2}{4ab}$$
$$=\left(\frac{b}{a(a-b)}-\frac{2}{a-b}-\frac{a}{b(b-a)}\right)\cdot\frac{4ab}{a^2-b^2}$$
$$=\left(\frac{b}{a(a-b)}-\frac{2}{a-b}+\frac{a}{b(a-b)}\right)\cdot\frac{4ab}{(a-b)(a+b)}.$$

Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

$$\frac{b^2-2ab+a^2}{ab(a-b)}=\frac{(a-b)^2}{ab(a-b)}=\frac{a-b}{ab}.$$

Тогда

$$\frac{a-b}{ab}\cdot\frac{4ab}{(a-b)(a+b)}=\frac{4}{a+b}.$$

Тождество доказано.