Упр.181 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задание учебника 2025 года

1. Докажите тождество: $$\left(\frac{b}{a^2-ab}-\frac{2}{a-b}-\frac{a}{b^2-ab}\right):\frac{a^2-b^2}{4ab}=\frac{4}{a+b}.$$

Задание учебника 2019 года

1. Упростите выражение: $$\frac{x^2+14x+49}{x+6}:\left(\frac{13}{x+6}-x+6\right).$$
2. Упростите выражение: $$c-\frac{2c-9}{c+8}:\frac{c^2+3c}{c^2-64}+\frac{24}{c}.$$

1. $$\left(\frac{b}{a^2-ab}-\frac{2}{a-b}-\frac{a}{b^2-ab}\right):\frac{a^2-b^2}{4ab}$$

   Разложим знаменатели на множители:
   $$a^2-ab=a(a-b), \quad b^2-ab=b(b-a)=-b(a-b), \quad a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$

   Тогда
   $$\frac{b}{a(a-b)}-\frac{2}{a-b}-\frac{a}{b(b-a)} = \frac{b}{a(a-b)}-\frac{2}{a-b}+\frac{a}{b(a-b)}.$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{b^2-2ab+a^2}{ab(a-b)}=\frac{(a-b)^2}{ab(a-b)}=\frac{a-b}{ab}.$$

   Деление на дробь заменим умножением на обратную:
   $$\frac{a-b}{ab}:\frac{(a-b)(a+b)}{4ab} = \frac{a-b}{ab}\cdot\frac{4ab}{(a-b)(a+b)} = \frac{4}{a+b}.$$

2. $$\frac{x^2+14x+49}{x+6}:\left(\frac{13}{x+6}-x+6\right)$$

   Заметим, что
   $$x^2+14x+49=(x+7)^2,$$
   а
   $$\frac{13}{x+6}-x+6=\frac{13-(x-6)(x+6)}{x+6} =\frac{13-(x^2-36)}{x+6} =\frac{49-x^2}{x+6}.$$

   Тогда
   $$\frac{(x+7)^2}{x+6}:\frac{49-x^2}{x+6} = \frac{(x+7)^2}{49-x^2}.$$

   Так как
   $$49-x^2=(7-x)(7+x),$$
   получаем
   $$\frac{(x+7)^2}{(7-x)(7+x)}=\frac{x+7}{7-x}.$$

3. $$\left(c-\frac{2c-9}{c+8}\right):\frac{c^2+3c}{c^2-64}+\frac{24}{c}$$

   Преобразуем первую скобку:
   $$c-\frac{2c-9}{c+8} = \frac{c(c+8)-(2c-9)}{c+8} = \frac{c^2+6c+9}{c+8} = \frac{(c+3)^2}{c+8}.$$

   А также
   $$\frac{c^2+3c}{c^2-64} = \frac{c(c+3)}{(c-8)(c+8)}.$$

   Тогда
   $$\frac{(c+3)^2}{c+8}:\frac{c(c+3)}{(c-8)(c+8)} = \frac{(c+3)^2}{c+8}\cdot\frac{(c-8)(c+8)}{c(c+3)} = \frac{(c+3)(c-8)}{c}.$$

   Теперь прибавим $$\frac{24}{c}$$:
   $$\frac{(c+3)(c-8)}{c}+\frac{24}{c} = \frac{c^2-5c-24+24}{c} = \frac{c^2-5c}{c} = c-5.$$

Ответ

1) $$\frac{4}{a+b}$$
2) $$\frac{x+7}{7-x}$$
3) $$c-5$$