Упр.181 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) (b/(a2-ab) — 2/(a-b) — a/(b2-ab)) : (a2-b2)/4ab = 4/(a+b); Упростите выражение:
1) (x2+14x+49)/(x+6) : (13/(x+6) — x + 6);
2) (c — (2c-9)/(c+8) : (c2+3c)/(c2-64) + 24/c;

Подробный ответ

$$\left(\frac{b}{a^2-ab}-\frac{2}{a-b}-\frac{a}{b^2-ab}\right):\frac{a^2-b^2}{4ab}$$
Разложим знаменатели на множители:
$$a^2-ab=a(a-b), \quad b^2-ab=b(b-a)=-b(a-b), \quad a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$
Тогда
$$ \frac{b}{a(a-b)}-\frac{2}{a-b}-\frac{a}{b(b-a)} = \frac{b}{a(a-b)}-\frac{2}{a-b}+\frac{a}{b(a-b)}. $$
Приведём к общему знаменателю:
$$ \frac{b^2-2ab+a^2}{ab(a-b)}=\frac{(a-b)^2}{ab(a-b)}=\frac{a-b}{ab}. $$
Деление на дробь заменим умножением на обратную:
$$ \frac{a-b}{ab}:\frac{(a-b)(a+b)}{4ab} = \frac{a-b}{ab}\cdot\frac{4ab}{(a-b)(a+b)} = \frac{4}{a+b}. $$
$$\frac{x^2+14x+49}{x+6}:\left(\frac{13}{x+6}-x+6\right)$$
Заметим, что
$$x^2+14x+49=(x+7)^2,$$
а
$$ \frac{13}{x+6}-x+6=\frac{13-(x-6)(x+6)}{x+6} =\frac{13-(x^2-36)}{x+6} =\frac{49-x^2}{x+6}. $$
Тогда
$$ \frac{(x+7)^2}{x+6}:\frac{49-x^2}{x+6} = \frac{(x+7)^2}{49-x^2}. $$
Так как
$$49-x^2=(7-x)(7+x),$$
получаем
$$ \frac{(x+7)^2}{(7-x)(7+x)}=\frac{x+7}{7-x}. $$
$$\left(c-\frac{2c-9}{c+8}\right):\frac{c^2+3c}{c^2-64}+\frac{24}{c}$$
Преобразуем первую скобку:
$$ c-\frac{2c-9}{c+8} = \frac{c(c+8)-(2c-9)}{c+8} = \frac{c^2+6c+9}{c+8} = \frac{(c+3)^2}{c+8}. $$
А также
$$ \frac{c^2+3c}{c^2-64} = \frac{c(c+3)}{(c-8)(c+8)}. $$
Тогда
$$ \frac{(c+3)^2}{c+8}:\frac{c(c+3)}{(c-8)(c+8)} = \frac{(c+3)^2}{c+8}\cdot\frac{(c-8)(c+8)}{c(c+3)} = \frac{(c+3)(c-8)}{c}. $$
Теперь прибавим $$\frac{24}{c}$$:
$$ \frac{(c+3)(c-8)}{c}+\frac{24}{c} = \frac{c^2-5c-24+24}{c} = \frac{c^2-5c}{c} = c-5. $$