Упр.180 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Докажите тождество:

1. $$\left(\frac{ab}{a^2-b^2}+\frac{b}{2b-2a}\right):\frac{2b}{a^2-b^2}=\frac{a-b}{4}$$

Упростите выражение:

1. $$\left(\frac{15}{x-7}-x-7\right)\cdot\frac{7-x}{x^2-16x+64}$$
2. $$\left(a-\frac{5a-16}{a-3}\right):\left(2a-\frac{2a}{a-3}\right)$$

1. Преобразуем левую часть:

   $$\left(\frac{ab}{a^2-b^2}+\frac{b}{2b-2a}\right):\frac{2b}{a^2-b^2}$$
   $$=\left(\frac{ab}{(a-b)(a+b)}-\frac{b}{2(a-b)}\right)\cdot\frac{a^2-b^2}{2b}$$
   $$=\frac{2ab-b(a+b)}{2(a-b)(a+b)}\cdot\frac{(a-b)(a+b)}{2b}$$
   $$=\frac{ab-b^2}{2}\cdot\frac{1}{2b} =\frac{b(a-b)}{2}\cdot\frac{1}{2b} =\frac{a-b}{4}.$$

2. Упростим выражение:

   $$\left(\frac{15}{x-7}-x-7\right)\cdot\frac{7-x}{x^2-16x+64}$$
   $$=\frac{15-(x-7)(x+7)}{x-7}\cdot\frac{7-x}{(x-8)^2}$$
   $$=\frac{15-(x^2-49)}{x-7}\cdot\frac{-(x-7)}{(x-8)^2}$$
   $$=\frac{64-x^2}{x-7}\cdot\frac{-(x-7)}{(x-8)^2} =\frac{-(x-8)(x+8)}{x-7}\cdot\frac{-(x-7)}{(x-8)^2}$$
   $$=\frac{x+8}{x-8}.$$

3. Упростим выражение:

   $$\left(a-\frac{5a-16}{a-3}\right):\left(2a-\frac{2a}{a-3}\right)$$
   $$=\frac{a(a-3)-5a+16}{a-3}:\frac{2a(a-3)-2a}{a-3}$$
   $$=\frac{a^2-8a+16}{a-3}:\frac{2a^2-8a}{a-3} =\frac{(a-4)^2}{a-3}:\frac{2a(a-4)}{a-3}$$
   $$=\frac{(a-4)^2}{a-3}\cdot\frac{a-3}{2a(a-4)} =\frac{a-4}{2a}.$$

Ответ

$$\frac{a-b}{4};\quad \frac{x+8}{x-8};\quad \frac{a-4}{2a}$$