Упр.18.17 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

v(x-2+v(2x-5)) +v(x+2+3v(2x-5)) =7v2.

Обозначим

$$a=\sqrt{x-2+\sqrt{2x-5}}, \qquad b=\sqrt{x+2+3\sqrt{2x-5}}.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$a+b=7\sqrt{2}.$$

Преобразуем подкоренные выражения:

$$x-2+\sqrt{2x-5}=x-\frac52+2\sqrt{x-\frac52}\cdot\frac{\sqrt2}{2}+\frac12=\left(\sqrt{x-\frac52}+\frac{\sqrt2}{2}\right)^2,$$

$$x+2+3\sqrt{2x-5}=x-\frac52+2\sqrt{x-\frac52}\cdot\frac{3\sqrt2}{2}+\frac92=\left(\sqrt{x-\frac52}+\frac{3\sqrt2}{2}\right)^2.$$

Следовательно,

$$\sqrt{x-2+\sqrt{2x-5}}=\left|\sqrt{x-\frac52}+\frac{\sqrt2}{2}\right|,$$

$$\sqrt{x+2+3\sqrt{2x-5}}=\left|\sqrt{x-\frac52}+\frac{3\sqrt2}{2}\right|.$$

Так как $$x\ge \frac52,$$ то оба выражения под модулем неотрицательны, и можно убрать модули:

$$\sqrt{x-\frac52}+\frac{\sqrt2}{2}+\sqrt{x-\frac52}+\frac{3\sqrt2}{2}=7\sqrt2.$$

Получаем

$$2\sqrt{x-\frac52}+2\sqrt2=7\sqrt2,$$

$$2\sqrt{x-\frac52}=5\sqrt2,$$

$$\sqrt{x-\frac52}=\frac{5\sqrt2}{2}.$$

Возведём в квадрат:

$$x-\frac52=\frac{25\cdot 2}{4}=\frac{25}{2},$$

$$x=\frac{25}{2}+\frac{5}{2}=15.$$

Проверка подстановкой выполняется.

Ответ

$$x=15.$$