Упр.18.16 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) v(x+6+2v(x+5)) +v(x+6-2v(x+5)) =6;
2) v(x+2+2v(x+1)) +v(x+2-2v(x+1)) =2.

1) Рассмотрим уравнение

$$\sqrt{x+6+2\sqrt{x+5}}+\sqrt{x+6-2\sqrt{x+5}}=6.$$

Заметим, что

$$x+6+2\sqrt{x+5}=(\sqrt{x+5}+1)^2,$$

$$x+6-2\sqrt{x+5}=(\sqrt{x+5}-1)^2.$$

Тогда

$$|\sqrt{x+5}+1|+|\sqrt{x+5}-1|=6.$$

Так как $$\sqrt{x+5}\ge 0,$$ рассмотрим два случая.

Если $$\sqrt{x+5}\ge 1,$$ то

$$\sqrt{x+5}+1+\sqrt{x+5}-1=6,$$

$$2\sqrt{x+5}=6,$$

$$\sqrt{x+5}=3,$$

$$x+5=9,$$

$$x=4.$$

Если $$\sqrt{x+5}<1,$$ то

$$\sqrt{x+5}+1-\left(\sqrt{x+5}-1\right)=6,$$

$$2=6,$$

что невозможно. Значит, других решений нет.

2) Рассмотрим уравнение

$$\sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}}+\sqrt{x+2-2\sqrt{x+1}}=2.$$

Преобразуем подкоренные выражения:

$$x+2+2\sqrt{x+1}=(\sqrt{x+1}+1)^2,$$

$$x+2-2\sqrt{x+1}=(\sqrt{x+1}-1)^2.$$

Тогда

$$|\sqrt{x+1}+1|+|\sqrt{x+1}-1|=2.$$

Если $$\sqrt{x+1}\ge 1,$$ то

$$\sqrt{x+1}+1+\sqrt{x+1}-1=2,$$

$$2\sqrt{x+1}=2,$$

$$\sqrt{x+1}=1,$$

$$x=0.$$

Если $$\sqrt{x+1}<1,$$ то

$$\sqrt{x+1}+1-\left(\sqrt{x+1}-1\right)=2,$$

то есть равенство выполняется при любом $$x,$$ для которого выражения определены и $$\sqrt{x+1}<1.$$

Из условий получаем

$$x+1\ge 0,\qquad x+1<1,$$

откуда

$$-1\le x<0.$$

Проверка показывает, что при этих значениях уравнение действительно выполняется.

Ответ

1) $$x=4$$; 2) $$x\in[-1;0]$$.