Упр.18.15 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) v(a+1-4v(a-3)) ; 2) v(2a+2+2v(a^2+2a)) -va.

1) $$\sqrt{a+1-4\sqrt{a-3}}=\sqrt{(a-3)-4\sqrt{a-3}+4}=\sqrt{\left(\sqrt{a-3}-2\right)^2}=|\sqrt{a-3}-2|.$$

Если $$\sqrt{a-3}-2>0,$$ то $$\sqrt{a-3}>2,$$ значит $$a-3>4,$$ откуда $$a>7.$$ Тогда

$$|\sqrt{a-3}-2|=\sqrt{a-3}-2.$$

Если $$\sqrt{a-3}-2\le 0,$$ то $$\sqrt{a-3}\le 2,$$ значит $$a-3\le 4,$$ а также из области определения $$a-3\ge 0.$$ Следовательно, $$3\le a\le 7.$$ Тогда

$$|\sqrt{a-3}-2|=2-\sqrt{a-3}.$$

2) $$\sqrt{2a+2+2\sqrt{a^2+2a}}-\sqrt{a}=\sqrt{2a+2+2\sqrt{a(a+2)}}-\sqrt{a}.$$

Заметим, что

$$2a+2+2\sqrt{a(a+2)}=(a+2)+a+2\sqrt{a(a+2)}=\left(\sqrt{a+2}+\sqrt{a}\right)^2.$$

Тогда

$$\sqrt{2a+2+2\sqrt{a^2+2a}}-\sqrt{a}=\sqrt{\left(\sqrt{a+2}+\sqrt{a}\right)^2}-\sqrt{a}=\sqrt{a+2}+\sqrt{a}-\sqrt{a}=\sqrt{a+2}.$$

Ответ

1) $$\begin{cases} \sqrt{a-3}-2, & a>7,\\ 2-\sqrt{a-3}, & 3\le a\le 7; \end{cases}$$

2) $$\sqrt{a+2}.$$