Упр.18.14 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) v(2x-2v(x^2-1)) +v(x-1);
2) (v(x-4v(x-4)) +2)/(v(x+4v(x-4)) -2);
3) v(x+2v(2x-4)) -v(x-2v(2x-4)) ;
4) v((a+1)/4+va/2)+v((a+1)/4-va/2).

1. $$\sqrt{2x-2\sqrt{x^2-1}}+\sqrt{x-1}$$
   $$=\sqrt{2x-2\sqrt{(x-1)(x+1)}}+\sqrt{x-1}$$
   $$=\sqrt{(x-1)-2\sqrt{(x-1)(x+1)}+(x+1)}+\sqrt{x-1}$$
   $$=\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{x+1}\right)^2}+\sqrt{x-1}$$
   $$=\left|\sqrt{x-1}-\sqrt{x+1}\right|+\sqrt{x-1}.$$
   Так как $$\sqrt{x+1}\ge \sqrt{x-1},$$ то
   $$\left|\sqrt{x-1}-\sqrt{x+1}\right|=\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}.$$
   Тогда
   $$\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}+\sqrt{x-1}=\sqrt{x+1}.$$

2. $$\frac{\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}+2}{\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}-2}$$
   $$=\frac{\sqrt{(x-4)-4\sqrt{x-4}+4}+2}{\sqrt{(x-4)+4\sqrt{x-4}+4}-2}$$
   $$=\frac{\sqrt{(\sqrt{x-4}-2)^2}+2}{\sqrt{(\sqrt{x-4}+2)^2}-2}$$
   $$=\frac{\left|\sqrt{x-4}-2\right|+2}{\left|\sqrt{x-4}+2\right|-2}.$$
   Так как $$\sqrt{x-4}+2>0,$$ то
   $$\left|\sqrt{x-4}+2\right|=\sqrt{x-4}+2,$$
   и знаменатель равен $$\sqrt{x-4}.$$
   Рассмотрим два случая:

   1) Если $$\sqrt{x-4}\ge 2,$$ то $$x\ge 8,$$ и
   $$\frac{\sqrt{x-4}-2+2}{\sqrt{x-4}}=\frac{\sqrt{x-4}}{\sqrt{x-4}}=1.$$

   2) Если $$\sqrt{x-4}<2,$$ то $$4<x<8,$$ и $$\frac{2-\sqrt{x-4}+2}{\sqrt{x-4}}=\frac{4-\sqrt{x-4}}{\sqrt{x-4}}.$$

3. $$\sqrt{x+2\sqrt{2x-4}}-\sqrt{x-2\sqrt{2x-4}}$$
   $$=\sqrt{x+2\sqrt{2(x-2)}}-\sqrt{x-2\sqrt{2(x-2)}}$$
   $$=\sqrt{(x-2)+2+2\sqrt{2(x-2)}}-\sqrt{(x-2)+2-2\sqrt{2(x-2)}}$$
   $$=\sqrt{\left(\sqrt{x-2}+\sqrt{2}\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{x-2}-\sqrt{2}\right)^2}$$
   $$=\left|\sqrt{x-2}+\sqrt{2}\right|-\left|\sqrt{x-2}-\sqrt{2}\right|.$$
   Так как $$\sqrt{x-2}+\sqrt{2}>0,$$ то
   $$\left|\sqrt{x-2}+\sqrt{2}\right|=\sqrt{x-2}+\sqrt{2}.$$
   Далее:

   1) Если $$\sqrt{x-2}\ge \sqrt{2},$$ то $$x\ge 4,$$ и
   $$\sqrt{x-2}+\sqrt{2}-(\sqrt{x-2}-\sqrt{2})=2\sqrt{2}.$$

   2) Если $$\sqrt{x-2}<\sqrt{2},$$ то $$2\le x<4,$$ и $$\sqrt{x-2}+\sqrt{2}-(\sqrt{2}-\sqrt{x-2})=2\sqrt{x-2}.$$

4. $$\sqrt{\frac{a+1}{4}+\frac{\sqrt{a}}{2}}+\sqrt{\frac{a+1}{4}-\frac{\sqrt{a}}{2}}$$
   $$=\sqrt{\frac{a+2\sqrt{a}+1}{4}}+\sqrt{\frac{a-2\sqrt{a}+1}{4}}$$
   $$=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{a}+1}{2}\right)^2}+\sqrt{\left(\frac{\sqrt{a}-1}{2}\right)^2}$$
   $$=\left|\frac{\sqrt{a}+1}{2}\right|+\left|\frac{\sqrt{a}-1}{2}\right|.$$
   Так как $$a\ge 0,$$ то $$\frac{\sqrt{a}+1}{2}>0.$$ Рассмотрим два случая:

   1) Если $$\frac{\sqrt{a}-1}{2}\ge 0,$$ то $$a\ge 1,$$ и
   $$\frac{\sqrt{a}+1}{2}+\frac{\sqrt{a}-1}{2}=\sqrt{a}.$$

   2) Если $$\frac{\sqrt{a}-1}{2}<0,$$ то $$0\le a<1,$$ и $$\frac{\sqrt{a}+1}{2}+\frac{1-\sqrt{a}}{2}=1.$$

Ответ

1) $$\sqrt{x+1}$$;
2) при $$x\ge 8$$ — $$1$$, при $$4<x<8$$ — $$\frac{4-\sqrt{x-4}}{\sqrt{x-4}}$$;
3) при $$x\ge 4$$ — $$2\sqrt{2}$$, при $$2\le x<4$$ — $$2\sqrt{x-2}$$;
4) при $$a\ge 1$$ — $$\sqrt{a}$$, при $$0\le a<1$$ — $$1$$.