Упр.18.12 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Упростите выражение $$\sqrt{(\sqrt{a}+1)^2-4\sqrt{a}}+\sqrt{(\sqrt{a}-2)^2+8\sqrt{a}}$$.

Преобразуем выражение под корнями:

$$\sqrt{(\sqrt a+1)^2-4\sqrt a}+\sqrt{(\sqrt a-2)^2+8\sqrt a}$$
$$=\sqrt{a+2\sqrt a+1-4\sqrt a}+\sqrt{a-4\sqrt a+4+8\sqrt a}$$
$$=\sqrt{a-2\sqrt a+1}+\sqrt{a+4\sqrt a+4}$$
$$=\sqrt{(\sqrt a-1)^2}+\sqrt{(\sqrt a+2)^2} =|\sqrt a-1|+|\sqrt a+2|.$$

Так как $$\sqrt a\ge 0,$$ то $$|\sqrt a+2|=\sqrt a+2.$$

Рассмотрим два случая.

1. Если $$\sqrt a-1>0,$$ то $$\sqrt a>1,$$ значит $$a>1.$$ Тогда

   $$|\sqrt a-1|+|\sqrt a+2|=(\sqrt a-1)+(\sqrt a+2)=2\sqrt a+1.$$

2. Если $$\sqrt a-1\le 0,$$ то $$0\le \sqrt a\le 1,$$ откуда $$0\le a\le 1.$$ Тогда

   $$|\sqrt a-1|+|\sqrt a+2|=(1-\sqrt a)+(\sqrt a+2)=3.$$

Ответ

$$\begin{cases} 2\sqrt a+1, & a>1,\\ 3, & 0\le a\le 1. \end{cases}$$