Упр.18.12 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 18.12. Упростите выражение v((va+1)^2-4va) +v((va-2)^2+8va) .

Преобразуем выражение под корнями:

$$ \sqrt{(\sqrt a+1)^2-4\sqrt a}+\sqrt{(\sqrt a-2)^2+8\sqrt a} $$
$$ =\sqrt{a+2\sqrt a+1-4\sqrt a}+\sqrt{a-4\sqrt a+4+8\sqrt a} $$
$$ =\sqrt{a-2\sqrt a+1}+\sqrt{a+4\sqrt a+4} $$
$$ =\sqrt{(\sqrt a-1)^2}+\sqrt{(\sqrt a+2)^2} =|\sqrt a-1|+|\sqrt a+2|. $$

Так как $$\sqrt a\ge 0,$$ то $$|\sqrt a+2|=\sqrt a+2.$$

Рассмотрим два случая.

1. Если $$\sqrt a-1>0,$$ то $$\sqrt a>1,$$ значит $$a>1.$$ Тогда

   $$ |\sqrt a-1|+|\sqrt a+2|=(\sqrt a-1)+(\sqrt a+2)=2\sqrt a+1. $$

2. Если $$\sqrt a-1\le 0,$$ то $$0\le \sqrt a\le 1,$$ откуда $$0\le a\le 1.$$ Тогда

   $$ |\sqrt a-1|+|\sqrt a+2|=(1-\sqrt a)+(\sqrt a+2)=3. $$

Ответ

$$ \begin{cases} 2\sqrt a+1, & a>1,\\ 3, & 0\le a\le 1. \end{cases} $$