Упр.17.46 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) v(a+4v(a-4)) ;
2) v(x+2v(2x-4)) ;
3) v((a+1)/4+va/2);
4) (v(2a+2v(a^2-4b^2 )) -v(a-2b))/v(a+2b);
5) v(2-v(4-a^2 )) ,если 0?a?2;
6) v(3a-1+2v(2a^2-a)) ,если a?1/2.

1. $$\sqrt{a+4\sqrt{a-4}}=\sqrt{(a-4)+4\sqrt{a-4}+4}=\sqrt{\left(\sqrt{a-4}+2\right)^2}=\sqrt{a-4}+2.$$

2. $$\sqrt{x+2\sqrt{2x-4}}=\sqrt{x+2\sqrt{2(x-2)}}=\sqrt{(x-2)+2\sqrt{2(x-2)}+2}$$
   $$=\sqrt{\left(\sqrt{x-2}+\sqrt2\right)^2}=\sqrt{x-2}+\sqrt2.$$

3. $$\sqrt{\frac{a+1}{4}+\frac{\sqrt a}{2}}=\sqrt{\frac a4+\frac{2\sqrt a}{2}\cdot\frac12+\frac14}=\sqrt{\left(\frac{\sqrt a}{2}+\frac12\right)^2}=\frac{\sqrt a}{2}+\frac12=\frac{\sqrt a+1}{2}.$$

4. $$\frac{\sqrt{2a+2\sqrt{a^2-4b^2}}-\sqrt{a-2b}}{\sqrt{a+2b}}$$
   $$=\frac{\sqrt{2a+2\sqrt{(a-2b)(a+2b)}}-\sqrt{a-2b}}{\sqrt{a+2b}}$$
   $$=\frac{\sqrt{(a-2b)+2\sqrt{(a-2b)(a+2b)}+(a+2b)}-\sqrt{a-2b}}{\sqrt{a+2b}}$$
   $$=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{a-2b}+\sqrt{a+2b}\right)^2}-\sqrt{a-2b}}{\sqrt{a+2b}}$$
   $$=\frac{\sqrt{a-2b}+\sqrt{a+2b}-\sqrt{a-2b}}{\sqrt{a+2b}}=1.$$

5. При $$0\le a\le 2$$ имеем:
   $$\sqrt{2-\sqrt{4-a^2}}=\sqrt{2-2\cdot\frac12\sqrt{(2-a)(2+a)}}$$
   $$=\sqrt{\frac{2+a}{2}-2\sqrt{\frac{2+a}{2}\cdot\frac{2-a}{2}}+\frac{2-a}{2}}$$
   $$=\sqrt{\left(\sqrt{\frac{2+a}{2}}-\sqrt{\frac{2-a}{2}}\right)^2}$$
   $$=\sqrt{\frac{2+a}{2}}-\sqrt{\frac{2-a}{2}}=\frac{\sqrt{2+a}-\sqrt{2-a}}{\sqrt2}.$$

6. При $$a\ge \frac12$$:
   $$\sqrt{3a-1+2\sqrt{2a^2-a}}=\sqrt{3a-1+2\sqrt{a(2a-1)}}$$
   $$=\sqrt{(2a-1)+2\sqrt{a(2a-1)}+a}$$
   $$=\sqrt{\left(\sqrt{2a-1}+\sqrt a\right)^2}=\sqrt{2a-1}+\sqrt a.$$

Ответ

1) $$\sqrt{a-4}+2$$;
2) $$\sqrt{x-2}+\sqrt2$$;
3) $$\frac{\sqrt a+1}{2}$$;
4) $$1$$;
5) $$\frac{\sqrt{2+a}-\sqrt{2-a}}{\sqrt2}$$;
6) $$\sqrt{2a-1}+\sqrt a$$.