Упр.17.44 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

(2+v3)/(v2+v(2+v3) )+(2-v3)/(v2-v(2-v3) )=v2.

Подробный ответ

Преобразуем левую часть:

$$ \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}} $$

Заметим, что

$$ 2+\sqrt{3}=\left(\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2,\qquad 2-\sqrt{3}=\left(\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2. $$

Тогда

$$ \frac{\left(\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2}{\sqrt{2}+\sqrt{\left(\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2}} + \frac{\left(\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2}{\sqrt{2}-\sqrt{\left(\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2}} $$

$$ = \frac{\left(\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2}{\sqrt{2}+\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}} + \frac{\left(\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2}{\sqrt{2}-\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}}. $$

Поскольку

$$ \sqrt{2}=\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}} \quad \text{и} \quad \sqrt{2}=\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}} $$

в соответствующих знаменателях, получаем

$$ \frac{\left(\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2}{2\sqrt{2}} + \frac{\left(\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2}{2\sqrt{2}}. $$

Сложим дроби:

$$ \frac{\left(\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2}{2\sqrt{2}} = \frac{2\cdot \frac{3}{2}+2\cdot \frac{1}{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}. $$

Следовательно, левая часть равна правой части.