Упр.17.43 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

(6+4v2)/(v2+v(6+4v2) )+(6-4v2)/(v2-v(6-4v2) )=2v2.

Преобразуем левую часть равенства:

$$ \frac{6+4\sqrt2}{\sqrt2+\sqrt{6+4\sqrt2}}+\frac{6-4\sqrt2}{\sqrt2-\sqrt{6-4\sqrt2}} $$

Заметим, что
$$ 6+4\sqrt2=(2+\sqrt2)^2,\qquad 6-4\sqrt2=(2-\sqrt2)^2. $$
Тогда
$$ \sqrt{6+4\sqrt2}=2+\sqrt2,\qquad \sqrt{6-4\sqrt2}=2-\sqrt2. $$

Подставим:

$$ \frac{6+4\sqrt2}{\sqrt2+(2+\sqrt2)}+\frac{6-4\sqrt2}{\sqrt2-(2-\sqrt2)} = \frac{6+4\sqrt2}{2(\sqrt2+1)}+\frac{6-4\sqrt2}{2(\sqrt2-1)}. $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \frac{(6+4\sqrt2)(\sqrt2-1)+(6-4\sqrt2)(\sqrt2+1)}{2(\sqrt2+1)(\sqrt2-1)}. $$

Раскроем скобки:

$$ (6+4\sqrt2)(\sqrt2-1)=6\sqrt2-6+8-4\sqrt2, $$
$$ (6-4\sqrt2)(\sqrt2+1)=6\sqrt2+6-8-4\sqrt2. $$

Тогда числитель равен

$$ (6\sqrt2-6+8-4\sqrt2)+(6\sqrt2+6-8-4\sqrt2)=4\sqrt2, $$

а знаменатель:

$$ 2(\sqrt2+1)(\sqrt2-1)=2(2-1)=2. $$

Следовательно,

$$ \frac{4\sqrt2}{2}=2\sqrt2. $$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$ 2\sqrt2 $$