Упр.17.43 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Докажите равенство $$\frac{6+4\sqrt{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{6+4\sqrt{2}}}+\frac{6-4\sqrt{2}}{\sqrt{2}-\sqrt{6-4\sqrt{2}}}=2\sqrt{2}.$$

Преобразуем левую часть равенства:

$$\frac{6+4\sqrt2}{\sqrt2+\sqrt{6+4\sqrt2}}+\frac{6-4\sqrt2}{\sqrt2-\sqrt{6-4\sqrt2}}$$

Заметим, что
$$6+4\sqrt2=(2+\sqrt2)^2,\qquad 6-4\sqrt2=(2-\sqrt2)^2.$$
Тогда
$$\sqrt{6+4\sqrt2}=2+\sqrt2,\qquad \sqrt{6-4\sqrt2}=2-\sqrt2.$$

Подставим:

$$\frac{6+4\sqrt2}{\sqrt2+(2+\sqrt2)}+\frac{6-4\sqrt2}{\sqrt2-(2-\sqrt2)} = \frac{6+4\sqrt2}{2(\sqrt2+1)}+\frac{6-4\sqrt2}{2(\sqrt2-1)}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{(6+4\sqrt2)(\sqrt2-1)+(6-4\sqrt2)(\sqrt2+1)}{2(\sqrt2+1)(\sqrt2-1)}.$$

Раскроем скобки:

$$(6+4\sqrt2)(\sqrt2-1)=6\sqrt2-6+8-4\sqrt2,$$
$$(6-4\sqrt2)(\sqrt2+1)=6\sqrt2+6-8-4\sqrt2.$$

Тогда числитель равен

$$(6\sqrt2-6+8-4\sqrt2)+(6\sqrt2+6-8-4\sqrt2)=4\sqrt2,$$

а знаменатель:

$$2(\sqrt2+1)(\sqrt2-1)=2(2-1)=2.$$

Следовательно,

$$\frac{4\sqrt2}{2}=2\sqrt2.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$2\sqrt2$$