Упр.17.41 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) v(10+8v(2+v(9+4v2) ) ) ;
2) v(22+6v(3+v(13+v48) ) ) ;
3) v(8-v28) -v(8+v28) ;
4) v(4+v15) -v(4-v15) .

1. $$\sqrt{10+8\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt2}}}$$
   $$=\sqrt{10+8\sqrt{2+\sqrt{(\sqrt8+1)^2}}}$$
   $$=\sqrt{10+8\sqrt{2+\sqrt8+1}}$$
   $$=\sqrt{10+8\sqrt{2+2\sqrt2+1}}$$
   $$=\sqrt{10+8\sqrt{(\sqrt2+1)^2}}$$
   $$=\sqrt{10+8(\sqrt2+1)}$$
   $$=\sqrt{16+8\sqrt2}$$
   $$=\sqrt{(4+\sqrt2)^2}=4+\sqrt2.$$

2. $$\sqrt{22+6\sqrt{3+\sqrt{13+\sqrt{48}}}}$$
   $$=\sqrt{22+6\sqrt{3+\sqrt{12+4\sqrt3+1}}}$$
   $$=\sqrt{22+6\sqrt{3+\sqrt{(\sqrt{12}+1)^2}}}$$
   $$=\sqrt{22+6\sqrt{3+2\sqrt3+1}}$$
   $$=\sqrt{22+6\sqrt{(\sqrt3+1)^2}}$$
   $$=\sqrt{22+6(\sqrt3+1)}$$
   $$=\sqrt{27+6\sqrt3}$$
   $$=\sqrt{(3\sqrt3+1)^2}=3\sqrt3+1.$$

3. $$\sqrt{8-\sqrt{28}}-\sqrt{8+\sqrt{28}}$$
   $$=\sqrt{7-2\sqrt7+1}-\sqrt{7+2\sqrt7+1}$$
   $$=\sqrt{(\sqrt7-1)^2}-\sqrt{(\sqrt7+1)^2}$$
   $$=|\sqrt7-1|-|\sqrt7+1|$$
   $$=\sqrt7-1-(\sqrt7+1)=-2.$$

4. $$\sqrt{4+\sqrt{15}}-\sqrt{4-\sqrt{15}}$$
   $$=\sqrt{4+2\sqrt{\frac{15}{4}}}-\sqrt{4-2\sqrt{\frac{15}{4}}}$$
   $$=\sqrt{\left(\sqrt{\frac52}+\sqrt{\frac32}\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{\frac52}-\sqrt{\frac32}\right)^2}$$
   $$=\left|\sqrt{\frac52}+\sqrt{\frac32}\right|-\left|\sqrt{\frac52}-\sqrt{\frac32}\right|$$
   $$=\sqrt{\frac52}+\sqrt{\frac32}-\left(\sqrt{\frac52}-\sqrt{\frac32}\right)$$
   $$=2\sqrt{\frac32}=\sqrt6.$$

Ответ

1) $$4+\sqrt2$$; 2) $$3\sqrt3+1$$; 3) $$-2$$; 4) $$\sqrt6$$.