Упр.17.39 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

1/(v3+1)+1/(v5+v3)+1/(v7+v5)+…+1/(v91+v89)=(v91-1)/2.

Подробный ответ

Преобразуем каждый дробный член, используя формулу разности квадратов:

$$ \frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{\sqrt{3}-1}{3-1}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}, $$
$$ \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{5-3}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}, $$
$$ \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{7-5}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}. $$
Аналогично для всех остальных слагаемых:
$$ \frac{1}{\sqrt{91}+\sqrt{89}}=\frac{\sqrt{91}-\sqrt{89}}{91-89}=\frac{\sqrt{91}-\sqrt{89}}{2}. $$

Тогда левая часть равенства равна

$$ \frac{\sqrt{3}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}+\cdots+\frac{\sqrt{91}-\sqrt{89}}{2}. $$

Вынесем $$\frac12$$ за скобки:

$$ \frac{(\sqrt{3}-1)+(\sqrt{5}-\sqrt{3})+(\sqrt{7}-\sqrt{5})+\cdots+(\sqrt{91}-\sqrt{89})}{2}. $$

Внутри скобок все промежуточные слагаемые сокращаются, поэтому остаётся:

$$ \frac{\sqrt{91}-1}{2}. $$

Следовательно,

$$ \frac{1}{\sqrt{3}+1}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{91}+\sqrt{89}}=\frac{\sqrt{91}-1}{2}. $$